Введение
В алгебре, представление идеала как пересечения идеалов определенного типа. В математике, теорема Ласкера — Нётера утверждает, что каждое нётерово кольцо является кольцом Ласкера, что означает, что каждый идеал может быть разложен в пересечение, называемое первичным разложением, конечного числа первичных идеалов (которые связаны, но не идентичны, степеням простых идеалов). Теорема была впервые доказана для частного случая колец многочленов и колец сходящихся степенных рядов, а затем в полной мере доказана. Теорема является обобщением основной теоремы арифметики и, в более общем виде, основной теоремы для конечно порожденных абелевых групп на все нётеровы кольца. Теорема играет важную роль в алгебраической геометрии, поскольку утверждает, что каждое алгебраическое множество может быть единственным образом разложено в конечное объединение неприводимых компонент. Существует прямое обобщение на модули, утверждающее, что каждый подмодуль конечно порожденного модуля над нётеровым кольцом является конечным пересечением первичных подмодулей. Это включает случай колец как частный случай, рассматривая кольцо как модуль над собой, так что идеалы являются подмодулями. Это также обобщает форму первичного разложения теоремы о структуре для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов, а для частного случая колец многочленов над полем — разложение алгебраического множества в конечное объединение (неприводимых) многообразий. Первый алгоритм вычисления первичных разложений для полиномиальных колец над полем характеристики 0 был опубликован учеником Нётера. Разложение в общем случае не выполняется для некоммутативных нётеровых колец. Нётер привел пример некоммутативного нётерова кольца с правым идеалом, который не является пересечением первичных идеалов.
In mathematics, the Lasker–Noether theorem states that every Noetherian ring is a Lasker ring, which means that every ideal can be decomposed as an intersection, called primary decomposition, of finitely many primary ideals (which are related to, but not quite the same as, powers of prime ideals). The theorem was first proven by for the special case of polynomial rings and convergent power series rings, and was proven in its full generality by
The Lasker–Noether theorem is an extension of the fundamental theorem of arithmetic, and more generally the fundamental theorem of finitely generated abelian groups to all Noetherian rings. The theorem plays an important role in algebraic geometry, by asserting that every algebraic set may be uniquely decomposed into a finite union of irreducible components. It has a straightforward extension to modules stating that every submodule of a finitely generated module over a Noetherian ring is a finite intersection of primary submodules. This contains the case for rings as a special case, considering the ring as a module over itself, so that ideals are submodules. This also generalizes the primary decomposition form of the structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain, and for the special case of polynomial rings over a field, it generalizes the decomposition of an algebraic set into a finite union of (irreducible) varieties. The first algorithm for computing primary decompositions for polynomial rings over a field of characteristic 0 was published by Noether's student The decomposition does not hold in general for non commutative Noetherian rings. Noether gave an example of a non commutative Noetherian ring with a right ideal that is not an intersection of primary ideals.
Примеры
Примеры в разделе предназначены для иллюстрации некоторых свойств первичных разложений, которые могут оказаться неожиданными или противоречащими интуиции. Все примеры являются идеалами в полиномиальном кольце над полем k.
Первичная мощность против первичной
В кольце , идеа́л является первичным идеалом, имеющим в качестве ассоциированного простого идеала . Он не является степенью своего ассоциированного простого идеала.
Первичное декомпозиция из связанных простых чисел
В настоящее время принято проводить первичное разложение идеалов и модулей в рамках теории ассоциированных простых идеалов. В частности, влиятельный учебник Бурбаки "Алгебра коммутативная" использует этот подход. Пусть R – кольцо, а M – модуль над ним. По определению, ассоциированный простой идеал – это простой идеал, являющийся аннигилятором ненулевого элемента M; то есть, существует такой ненулевой элемент , что (это подразумевает ). Эквивалентно, простой идеал является ассоциированным простым идеалом M, если существует инъекция R-модулей . Максимальный элемент множества аннигиляторов ненулевых элементов M является простым идеалом, и, следовательно, когда R – нётерово кольцо, ассоциированный простой идеал M существует тогда и только тогда, когда M ненулевой. Множество ассоциированных простых идеалов M обозначается или . Непосредственно из определения следует, что если , то . Для точной последовательности , если R – нётерово кольцо, то , где обозначает поддержку. Кроме того, множество минимальных элементов совпадает с множеством минимальных элементов . Более того, каждый ассоциированный простой идеал M содержится в множестве простых идеалов ; то есть, (в общем случае эти включения не являются равенствами). В частности, является конечным множеством, когда M конечно порожден. Пусть – конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом R, а N – подмодуль M. Для заданного множества ассоциированных простых идеалов , существуют подмодули такие, что и
A maximal element of the set of annihilators of nonzero elements of M can be shown to be a prime ideal and thus, when R is a Noetherian ring, there exists an associated prime of M if and only if M is nonzero. The set of associated primes of M is denoted by or Directly from the definition,
If , then For an exact sequence , If R is a Noetherian ring, then where refers to support. Also, the set of minimal elements of is the same as the set of minimal elements of Moreover every associated prime of M occurs among the set of primes ; i. e., (In general, these inclusions are not the equalities.) In particular, is a finite set when M is finitely generated. Let be a finitely generated module over a Noetherian ring R and N a submodule of M. Given , the set of associated primes of , there exist submodules such that and
Подмодуль N модуля M называется первичным, если . Подмодуль R-модуля R является первичным как подмодуль тогда и только тогда, когда он является первичным идеалом; таким образом, когда , вышеуказанное разложение является именно первичным разложением идеала. Принимая , вышеуказанное разложение утверждает, что множество ассоциированных простых идеалов конечно порожденного модуля M совпадает с при (без конечности порождения может быть бесконечно много ассоциированных простых идеалов).
Свойства связанных простых чисел
Пусть R – нётерово кольцо. Тогда множество нулевых делителей в R совпадает с объединением ассоциированных простых идеалов R (это происходит потому, что множество нулевых делителей R является объединением множеств аннигиляторов ненулевых элементов, максимальные элементы которых – ассоциированные простые идеалы). По той же причине, объединение ассоциированных простых идеалов R-модуля M точно равно множеству нулевых делителей в M, то есть элементу r, такому, что эндоморфизм φ_r: M → M не является инъективным. Для любого подмножества S, M – R-модуль, существует подмодуль N такой, что S ⊆ N и N ⊆ Ann(M). Пусть S – мультипликативное подмножество, M – R-модуль, а Spec(R) – множество всех простых идеалов R, не пересекающихся с S. Тогда отображение из Spec(R) в множество подмодулей M, заданное p ↦ pM, является биекцией. Кроме того, любой простой идеал, минимальный по отношению к содержанию идеала J, принадлежит Spec(R). Эти простые идеалы являются именно изолированными простыми идеалами. Модуль M над R имеет конечную длину тогда и только тогда, когда M конечно порожден и Spec(R) состоит из максимальных идеалов. Пусть φ: A → B – гомоморфизм колец между нётеровыми кольцами, а F – B-модуль, плоский над A. Тогда для каждого A-модуля E, F ⊗_A E ≅ E ⊗_A F.
The set of zero divisors on R is the same as the union of the associated primes of R (this is because the set of zerodivisors of R is the union of the set of annihilators of nonzero elements, the maximal elements of which are associated primes). For the same reason, the union of the associated primes of an R module M is exactly the set of zero divisors on M, that is, an element r such that the endomorphism is not injective. Given a subset , M an R module , there exists a submodule such that and Let be a multiplicative subset, an module and the set of all prime ideals of not intersecting Then is a bijection. Also, Any prime ideal minimal with respect to containing an ideal J is in These primes are precisely the isolated primes. A module M over R has finite length if and only if M is finitely generated and consists of maximal ideals. Let be a ring homomorphism between Noetherian rings and F a B module that is flat over A. Then, for each A module E,
.
Не-ноэтерианский случай
Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы кольцо имело первичные разложения своих идеалов. Доказательство приводится в главе 4 книги Атия–Макдональда в виде серии упражнений. Существует следующая теорема об однозначности для идеала, имеющего первичное разложение. Теперь, для любого коммутативного кольца R, идеала I и минимального простого идеала P над I, прообраз I в Rₚ при локализации является наименьшим P-первичным идеалом, содержащим I. Таким образом, в условиях предыдущей теоремы, первичный идеал Q, соответствующий минимальному простому идеалу P, также является наименьшим P-первичным идеалом, содержащим I, и называется P-первичной компонентой I. Например, если степень Pⁿ простого идеала P имеет первичное разложение, то его P-первичная компонента является n-й символической степенью P.
Аддитивная теория идеалов
Этот результат стал первым в области, ныне известной как аддитивная теория идеалов, которая изучает способы представления идеала в виде пересечения особого класса идеалов. Выбор этого "особого класса", например, первичных идеалов, является самостоятельной задачей. В случае некоммутативных колец класс терциарных идеалов служит полезной заменой классу первичных идеалов.