Кіріспе
Оң сандардың индикатор функциясы
Хевисайдтың қадамдық функциясы немесе бірлік қадамдық функциясы, әдетте H немесе θ (бірақ кейде u, '1' немесе ) арқылы белгіленеді, – Оливер Хевисайдтың есімімен аталған қадамдық функция, оның теріс аргументтер үшін мәні нөл, ал теріс емес аргументтер үшін бір болады. Бұл қадамдық функциялардың жалпы класының мысалы, олардың барлығы осы функцияның ауысқан түрлерінің сызықтық комбинациялары ретінде көрсетілуі мүмкін. Функция бастапқыда дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін операциялық есептеуде жасалды, онда ол белгілі бір уақытта іске қосылып, одан әрі тоқтаусыз жұмыс істейтін сигналды білдіреді. Телеграф байланысын талдау құралы ретінде операциялық есептеуді әзірлеген Оливер Хевисайд бұл функцияны '1' деп көрсеткен. Хевисайд функциясын былай анықтауға болады:
бөліктік функция ретінде:
Иверсон жақшасын қолдану арқылы:
индикатор функциясы ретінде:
рампа функциясының туындысы ретінде:
a piecewise function:
using the Iverson bracket notation:
an indicator function:
the derivative of the ramp function:
Дирак дельта функциясы – Хевисайд функциясының туындысы.
Осылайша, Хевисайд функциясын Дирак дельта функциясының интегралы деп қарастыруға болады. Бұл кейде былай жазылады:
бірақ бұл кеңейту δ қатысатын интегралдарға мағына беру үшін қолданылатын формализмге байланысты жарамсыз болуы (немесе тіпті мағынасыз) мүмкін. Бұл контексте Хевисайд функциясы – дерлік нақты 0-ге тең болатын кездейсоқ шаманың жиынтық үлестіру функциясы болып табылады. (Тұрақты кездейсоқ шаманы қараңыз.) Операциялық есептеуде пайдалы жауаптар көбінесе H(0) үшін қолданылатын мәнге тәуелді болмайды, себебі H көбінесе үлестірім ретінде қолданылады. Дегенмен, бұл таңдау функционалдық талдау және ойын теориясында, онда сабақтастықтың жалпы формалары қарастырылады, маңызды салдарларға ие болуы мүмкін. Кейбір кең таралған таңдаулар төменде келтірілген. Хевисайдтың қадамдық функциясының жуықтамалары биохимия және нейробиология салаларында қолданылады, онда қадамдық функциялардың логистикалық жуықтамалары (мысалы, Хилл және Михаэлис-Ментен теңдеулері) химиялық сигналдарға жауап ретінде екі жағдайлы жасушалық коммутаторларды жуықтау үшін пайдаланылуы мүмкін.
Нөл аргументі
H әдетте интегралда қолданылатындықтан және функцияның бір нүктедегі мәні оның интегралына әсер етпейтіндіктен, H(0) қандай мәнді таңдағаны көбінесе маңызды емес. Шындығында, H үлестірім немесе элемент ретінде қарастырылғанда (сәйкес кеңістікке қараңыз), нөлдегі мән туралы сөзге келмейді, себебі мұндай объектілер тек дерлік барлық жерде ғана анықталған. Егер қандай да бір аналитикалық жуықтама қолданса (жоғарыдағы мысалдардағыдай), онда нөлдегі тиісті лимит жиі қолданылады. Нақты бір мәнді таңдаудың түрлі себептері бар. жиі қолданылады, себебі графиктің бұрылу симметриясы болады; басқаша айтқанда, онда тақ функция. Бұл жағдайда барлық x үшін белгі функциясымен келесі қатынас орын алады: H оңнан үзіліссіз болуы керек болғанда қолданылады. Мысалы, жиынтық үлестірім функциялары әдетте оңнан үзіліссіз болып есептеледі, сондай-ақ Лебег-Стильджес интегралында интегралданатын функциялар да. Бұл жағдайда H – жабық жартылай шексіз интервалдың индикатор функциясы: сәйкес келетін ықтималдық үлестірімі дегенеративті үлестірім болып табылады. H солдан үзіліссіз болуы керек болғанда қолданылады. Бұл жағдайда H – ашық жартылай шексіз интервалдың индикатор функциясы: Функционалдық анализ контекстінде, оңтайландыру және ойын теориясы салаларында, шектеу функцияларының үзіліссіздігін сақтау және белгілі бір шешімдердің болуын қамтамасыз ету үшін Хевисайд функциясын жиындық мәнді функция ретінде анықтау жиі пайдалы. Мұндай жағдайларда Хевисайд функциясы мүмкін шешімдердің толық интервалын қайтарады, .
is used when H needs to be right continuous. For instance cumulative distribution functions are usually taken to be right continuous, as are functions integrated against in Lebesgue–Stieltjes integration. In this case H is the indicator function of a closed semi infinite interval: The corresponding probability distribution is the degenerate distribution. is used when H needs to be left continuous. In this case H is an indicator function of an open semi infinite interval:
In functional analysis contexts from optimization and game theory, it is often useful to define the Heaviside function as a set valued function to preserve the continuity of the limiting functions and ensure the existence of certain solutions. In these cases, the Heaviside function returns a whole interval of possible solutions, .
Фурье трансформациясы
Хевисайдтың қадамдық функциясының Фурье түрлендірмесі – таралым. Фурье түрлендірмесінің анықтамасы үшін тұрақтылардың бір таңдауын қолданатын болсақ, мынаған ие боламыз: мұндағы таралым, сынақ функциясы φ-ті Коши негізгі мәніне жібереді. Интегралдағы шек те (жұмсақ) таралымдар мағынасында алынады.
Here is the distribution that takes a test function φ to the Cauchy principal value of The limit appearing in the integral is also taken in the sense of (tempered) distributions.
Бір жақты Лапластың трансформациясы
Хевисайд қадамдық функциясының Лаплас түрлендіруі – мероморфтық функция. Лапластың бір жақты түрлендіруін қолданып, мынаны аламыз:
Екі жақты түрлендіру қолданылғанда интеграл екі бөлікке бөлінеді және нәтиже сол күйінде қалады.