Введение

Индикаторная функция положительных чисел

Функция Хевисайда, или функция единичного скачка, обычно обозначаемая H или θ (но иногда u, '1' или ), является ступенчатой функцией, названной в честь Оливера Хевисайда, значение которой равно нулю для отрицательных аргументов и единице для неотрицательных аргументов. Она является примером общего класса ступенчатых функций, все из которых могут быть представлены как линейные комбинации сдвигов этой функции. Функция была первоначально разработана в операционном исчислении для решения дифференциальных уравнений, где она представляет сигнал, который включается в заданный момент времени и остается включенным неопределенно долго. Оливер Хевисайд, разработавший операционное исчисление как инструмент анализа телеграфной связи, представлял эту функцию как "1". Функция Хевисайда может быть определена как: кусочно-определённая функция: с использованием обозначения скобки Иверсона: индикаторная функция: производная линейной функции:

Дельта-функция Дирака является производной функции Хевисайда.

Следовательно, функцию Хевисайда можно рассматривать как интеграл дельта-функции Дирака. Иногда это записывается как

хотя это разложение может быть неверным (или даже бессмысленным) для , в зависимости от используемого формализма для определения интегралов, содержащих δ. В этом контексте функция Хевисайда является функцией кумулятивного распределения случайной величины, которая почти наверняка равна 0. (См. постоянная случайная величина.) В операционном исчислении полезные результаты редко зависят от значения H(0), поскольку H в основном используется как обобщённая функция (распределение). Однако выбор может иметь важные последствия в функциональном анализе и теории игр, где рассматриваются более общие формы непрерывности. Некоторые распространённые варианты приведены ниже. Приближения к функции Хевисайда используются в биохимии и нейробиологии, где логистические приближения ступенчатых функций (такие как уравнения Хилла и Михаэлиса-Ментен) могут использоваться для аппроксимации бинарных клеточных переключателей в ответ на химические сигналы.

Нулевой аргумент

Поскольку H обычно используется в интегрировании, а значение функции в одной точке не влияет на её интеграл, редко имеет значение, какое конкретное значение выбрано для H(0). Действительно, когда H рассматривается как распределение или элемент (см. пространство), даже не имеет смысла говорить о значении в нуле, поскольку такие объекты определены только почти всюду. Если использовать некоторое аналитическое приближение (как в приведенных выше примерах), то часто используется соответствующий предел в нуле. Существуют различные причины для выбора определенного значения. часто используется, поскольку график в этом случае обладает вращательной симметрией; другими словами, является нечётной функцией. В этом случае для всех x выполняется следующее соотношение со знаковой функцией: используется, когда H должно быть правонепрерывным. Например, функции кумулятивного распределения обычно принимаются правонепрерывными, как и функции, интегрируемые в интеграле Лебега — Стильтьеса. В этом случае H является индикаторной функцией полубесконечного замкнутого интервала: соответствующее распределение вероятностей — вырожденное распределение. используется, когда H должно быть левонепрерывным. В этом случае H является индикаторной функцией полубесконечного открытого интервала: в контексте функционального анализа, в частности в оптимизации и теории игр, часто полезно определять функцию Хевисайда как функцию, принимающую множественные значения, чтобы сохранить непрерывность предельных функций и обеспечить существование определенных решений. В этих случаях функция Хевисайда возвращает целый интервал возможных решений, .

Трансформация Фурье

Трансформация Фурье функции Хевисайда является распределением. Используя один из вариантов констант в определении преобразования Фурье, мы имеем

где – это распределение, которое отображает тестовую функцию φ в главное значение по Коши. Предел в интеграле также берется в смысле (умеренных) распределений.

Односторонняя трансформация Лапласа

Трансформация Лапласа функции Хевисайда — мероморфная функция. Используя одностороннее преобразование Лапласа, получаем:

При использовании двустороннего преобразования интеграл можно разбить на две части, и результат останется тем же.