Көлемді еселеу мәселесі – ежелгі геометриялық сызба. Тек циркуль мен сызғышпен шешу мүмкін емес, бірақ басқа әдістермен шешілді. Геометрия, математика.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Көне геометриялық құрылыс мәселесі
Ancient geometric construction problem
Кубті екі еселеу, сондай-ақ Делиан мәселесі деп белгілі, ежелгі геометриялық мәселе. Берілген кубтың қабырғасын пайдаланып, екінші кубтың қабырғасын салу қажет, оның көлемі бірінші кубтің көлемінен екі есе көп. Шеңберді шаршылау және бұрышты үш бөлікке бөлу сияқты, кубті екі еселеу тек компас пен сызғыш көмегімен салу мүмкін емес екені белгілі болды, бірақ ежелгі заманда басқа әдістерді қолданатын шешімдер де болған. Мысырлықтар, үндістер және әсіресе гректер бұл мәселені білген және оны шешуге көптеген сәтсіз әрекеттер жасады, оны қатты, бірақ шешілетін мәселе деп қарады. Алайда, компас пен сызғышпен салудың болмауы 1837 жылы Пьер Вантцель тарапынан дәлелденді. Алгебралық тұрғыдан алғанда, бірлік кубты екі еселеу үшін x ұзындығындағы сызық сегментін салу қажет, мұнда x³ = 2; яғни, екінің куб түбірі. Себебі, қабырғасы 1-ге тең кубтың көлемі 1³ = 1-ге тең, ал екі есе көлемді кубтың (көлемі 2) қабырғасы 2-нің куб түбіріне тең. Сондықтан, кубты екі еселеудің мүмкін еместігі құрастырылатын сан емес дегенмен тең. Бұл, компас пен сызғышпен салынған жаңа нүктенің координаттары алдыңғы нүктенің координаттарымен анықталатын, квадратықтан жоғары дәрежелі емес көпмүшелердің түбірі болып табылатынымен байланысты. Бұл құрастырылатын нүкте тудыратын өріс кеңейтуінің дәрежесі 2-нің қуаты болуы керек дегенді білдіреді. Алайда, 2-нің куб түбірі тудыратын өріс кеңейтуінің дәрежесі 3-ке тең.
Doubling the cube, also known as the Delian problem, is an ancient geometric problem. Given the edge of a cube, the problem requires the construction of the edge of a second cube whose volume is double that of the first. As with the related problems of squaring the circle and trisecting the angle, doubling the cube is now known to be impossible to construct by using only a compass and straightedge, but even in ancient times solutions were known that employed other methods. The Egyptians, Indians, and particularly the Greeks were aware of the problem and made many futile attempts at solving what they saw as an obstinate but soluble problem. However, the nonexistence of a compass and straightedge solution was finally proven by Pierre Wantzel in 1837. In algebraic terms, doubling a unit cube requires the construction of a line segment of length x, where 1=x^(3) = 2; in other words, , the cube root of two. This is because a cube of side length 1 has a volume of 1=13 = 1, and a cube of twice that volume (a volume of 2) has a side length of the cube root of 2. The impossibility of doubling the cube is therefore equivalent to the statement that is not a constructible number. This is a consequence of the fact that the coordinates of a new point constructed by a compass and straightedge are roots of polynomials over the field generated by the coordinates of previous points, of no greater degree than a quadratic. This implies that the degree of the field extension generated by a constructible point must be a power of 2. The field extension generated by , however, is of degree 3.
Мүмкін еместігін дәлелдеу
Біз жазықтықтағы (0,0) және (1,0) нүктелерімен анықталатын бірлік сызық сегментінен бастаймыз. Бізден екі нүктемен бөлінген, белгілі бір қашықтыққа ие сызық сегментін салу талап етіледі. Оңай көрсетуге болады, компас пен сызғыш құралдары мұндай сызық сегментін бірлік сызық сегментімен параллель, бастапқы нүктеге (0,0) жылжытуға мүмкіндік береді. Сондықтан (0,0) нүктесінен (, 0) нүктесіне дейінгі сызық сегментін салу міндетін қарастыруға болады, бұл (, 0) нүктесін салуды білдіреді. Компас пен сызғыш құралдары бұрын анықталған нүктесінен ортасы болып табылатын және басқа нүкте арқылы өтетін шеңберлер салуға, сондай-ақ екі бұрын анықталған нүкте арқылы өтетін түзулер салуға мүмкіндік береді. Кез келген жаңа анықталған нүкте екі мұндай шеңбердің қиылысуынан, шеңбер мен түзудің қиылысуынан немесе екі түзудің қиылысуынан пайда болады. Элементар аналитикалық геометрия бойынша, барлық үш жағдайда жаңа анықталған нүктелердің x және y координаттары бұрын анықталған нүктелердің (және рационал сандардың) координаттарын қамтитын қосу, алу, көбейту және бөлу амалдарынан тұратын, екінші дәрежеден жоғары емес полиномды қанағаттандырады. Көбірек абстрактілі терминологияда айтқанда, жаңа x және y координаттарының минималды полиномдары алдыңғы координаттармен құрылған нақты санның ішкі өрісіне қатысты ең көп дегенде 2 дәрежелі болады. Демек, әр жаңа координатаға сәйкес келетін өріс кеңеюінің дәрежесі 2 немесе 1 болады. Осылайша, егер бізге кез келген салынған нүктеге координаталар берілген болса, біз бастапқы (0,0) және (1,0) нүктелер жұбына дейін x және y координаттары арқылы нүктелердің анықталу реті бойынша индуктивті түрде кері қарай жүре аламыз. Өріс кеңеюінің дәрежесі 2 немесе 1 болғандықтан және бастапқы нүктелер жұбының координаттарының өрісінің кеңеюінің дәрежесі анық түрде 1 болғандықтан, мұнара ережесінен кез келген салынған нүкте координатасының өріс кеңеюінің дәрежесі 2-нің дәрежесі болады. Енді, p(x) = x³ - 2 = 0 теңдеуінің үстінен ирредуктивті екені оңай көрінеді – кез келген жіктелуде кейбір k ∈ үшін сызықтық фактор (x − k) болады, сондықтан k p(x) теңдеуінің түбірі болуы керек; сонымен қатар, k рационал түбір теоремасы бойынша 2-ге бөлінуі керек, яғни k = 1, 2, −1 немесе −2, ал олардың ешқайсысы p(x) теңдеуінің түбірі емес. Гаусс леммасы бойынша, p(x) сондай-ақ үстінен ирредуктивті, сондықтан үстінен минималды полином болып табылады. Демек, өріс кеңеюінің дәрежесі 3-ке тең. Бірақ бұл 2-нің дәрежесі емес, сондықтан жоғарыда айтылғандай, салынатын нүкте координатасы емес, демек, ұзындығындағы сызық сегментін салу мүмкін емес, және текшені екі еселендіруге болмайды.
We begin with the unit line segment defined by points (0,0) and (1,0) in the plane. We are required to construct a line segment defined by two points separated by a distance of It is easily shown that compass and straightedge constructions would allow such a line segment to be freely moved to touch the origin, parallel with the unit line segment so equivalently we may consider the task of constructing a line segment from (0,0) to (, 0), which entails constructing the point (, 0). Respectively, the tools of a compass and straightedge allow us to create circles centred on one previously defined point and passing through another, and to create lines passing through two previously defined points. Any newly defined point either arises as the result of the intersection of two such circles, as the intersection of a circle and a line, or as the intersection of two lines. An exercise of elementary analytic geometry shows that in all three cases, both the x and y coordinates of the newly defined point satisfy a polynomial of degree no higher than a quadratic, with coefficients that are additions, subtractions, multiplications, and divisions involving the coordinates of the previously defined points (and rational numbers). Restated in more abstract terminology, the new x and y coordinates have minimal polynomials of degree at most 2 over the subfield of [[real number generated by the previous coordinates. Therefore, the degree of the field extension corresponding to each new coordinate is 2 or 1. So, given a coordinate of any constructed point, we may proceed inductively backwards through the x and y coordinates of the points in the order that they were defined until we reach the original pair of points (0,0) and (1,0). As every field extension has degree 2 or 1, and as the field extension over of the coordinates of the original pair of points is clearly of degree 1, it follows from the tower rule that the degree of the field extension over of any coordinate of a constructed point is a power of 2. Now, 1=p(x) = x^(3) − 2 = 0 is easily seen to be irreducible over – any factorisation would involve a linear factor (x − k) for some k ∈ , and so k must be a root of p(x); but also k must divide 2 (by the rational root theorem); that is, 1=k = 1, 2, −1 or −2, and none of these are roots of p(x). By Gauss's Lemma, p(x) is also irreducible over , and is thus a minimal polynomial over for The field extension is therefore of degree 3. But this is not a power of 2, so by the above, is not the coordinate of a constructible point, and thus a line segment of cannot be constructed, and the cube cannot be doubled.
Компас пен тікшеден басқа тәсілдермен шешу
Менахмның бастапқы шешімі екі коникалық қисықтың қиылысуын қамтиды. Күбті екі еселеудің басқа да күрделі әдістері – неусис, Диоклдің циссоиды, Никомедтің конхоидасы немесе Филон сызығы. Пандрозион, ежелгі Грекияның, әйел математик болған болуы мүмкін, үш өлшемді жазықтықтарды пайдалана отырып, сандық тұрғыдан дәл шамамен шешім тапты, бірақ Александриялық Папп оны дұрыс математикалық дәлел келтірмегені үшін қатты сынады. Архитас б.з.д. 4 ғасырда үш өлшемді геометриялық құрылымды пайдаланып, мәселені шешті, белгілі бір нүктені үш айналма бетінің қиылысы ретінде анықтады. Декарттың теңдеулерді геометриялық түрде шешу теориясы кубтық теңдеулерді енгізу үшін параболаны қолданады, осылайша шешімі екінің кубтық түбірі болатын теңдеу құруға болады. Параболаның өзі үш өлшемді әдістермен ғана салынатынын ескеріңіз. Математикалық әуесқойлардың (псевдоматематика) әдебиетінде компас пен түзу сызықпен күбті екі еселеу туралы көптеген жалған мәлімдемелер кездеседі. Оригами қағазды бүктеу арқылы екінің кубтық түбірін салу үшін де қолданылуы мүмкін.
Menaechmus' original solution involves the intersection of two conic curves. Other more complicated methods of doubling the cube involve neusis, the cissoid of Diocles, the conchoid of Nicomedes, or the Philo line. Pandrosion, a probably female mathematician of ancient Greece, found a numerically accurate approximate solution using planes in three dimensions, but was heavily criticized by Pappus of Alexandria for not providing a proper mathematical proof. Archytas solved the problem in the 4th century BC using geometric construction in three dimensions, determining a certain point as the intersection of three surfaces of revolution. Descartes theory of geometric solution of equations uses a parabola to introduce cubic equations, in this way it is possible to set up an equation whose solution is a cube root of two. Note that the parabola itself is not constructible except by three dimensional methods. False claims of doubling the cube with compass and straightedge abound in mathematical crank literature (pseudomathematics). Origami may also be used to construct the cube root of two by folding paper.
Белгіленген сызықпен
Неузистің қарапайым құралымы бар, ол белгіленген сызықпен 2-ге көбейтілген куб түбіріне тең ұзындықты табуға мүмкіндік береді. Сызықтың берілген ұзындығын белгілеңіз; ол GH болады. Берілген ұзындығы қабырғасы болған ABC теңқабырғалы үшбұрышты салыңыз. AB сызығын D нүктесіне дейін сол ұзындыққа дейін созыңыз. BC сызығын CE сызығын құрайтын етіп созыңыз. DC сызығын CF сызығын құрайтын етіп созыңыз. Белгіленген сызықты А нүктесі арқылы өткізіңіз, сонда белгіленген ұзындықтың бір ұшы G нүктесі CF сәулесінде, екінші ұшы H нүктесі CE сәулесінде болады. Осылайша GH берілген ұзындыққа тең болады. Ал AG берілген ұзындықтың еселенген шамасы болады.
There is a simple neusis construction using a marked ruler for a length which is the cube root of 2 times another length. Mark a ruler with the given length; this will eventually be GH. Construct an equilateral triangle ABC with the given length as side. Extend AB an equal amount again to D.
Extend the line BC forming the line CE. Extend the line DC forming the line CF. Place the marked ruler so it goes through A and one end, G, of the marked length falls on ray CF and the other end of the marked length, H, falls on ray CE. Thus GH is the given length. Then AG is the given length times .
Музыка теориясында
Музыка теориясында, екі еселеудің табиғи аналогы октава (дыбыс жиілігін екі еселеу нәтижесінде туындайтын музыкалық интервал), ал кубтың табиғи аналогы – октаваны үш тең бөлікке бөлу, мұнда әр бөлік бірдей интервалды құрайды. Осы тұрғыдан алғанда, кубты екі еселеу мәселесі тең темпераменттегі мажорлық үштік арқылы шешіледі. Бұл музыкалық интервал октаваның нақты үштен бірін құрайды. Ол дыбыс жиілігін Делиан кубының қабырға ұзындығына көбейтеді.
In music theory, a natural analogue of doubling is the octave (a musical interval caused by doubling the frequency of a tone), and a natural analogue of a cube is dividing the octave into three parts, each the same interval. In this sense, the problem of doubling the cube is solved by the major third in equal temperament. This is a musical interval that is exactly one third of an octave. It multiplies the frequency of a tone by , the side length of the Delian cube.