Удвоение куба: древняя геометрическая задача.

Введение

Древняя геометрическая задача

Удвоение куба, также известное как дели́йская задача, — древняя геометрическая проблема. По заданному ребру куба требуется построить ребро второго куба, объем которого вдвое больше объема первого. Как и в случае со связанными проблемами квадратуры круга и трисекции угла, удвоение куба невозможно решить, используя только циркуль и линейку, однако уже в древности были известны решения, использующие другие методы. Египтяне, индийцы и особенно греки были осведомлены об этой проблеме и предпринимали множество безуспешных попыток решить то, что они считали сложной, но разрешимой задачей. Однако отсутствие решения с помощью циркуля и линейки было окончательно доказано Пьером Ванцелем в 1837 году. В алгебраических терминах, удвоение куба с единичным ребром требует построения отрезка прямой длиной x, где x³ = 2; иными словами, кубического корня из двух. Это связано с тем, что куб с ребром длиной 1 имеет объем 1³, равный 1, а куб с объемом вдвое больше (объемом 2) имеет ребро, равное кубическому корню из 2. Следовательно, невозможность удвоения куба эквивалентна утверждению, что кубический корень из двух не является построимым числом. Это является следствием того, что координаты новой точки, построенной циркулем и линейкой, являются корнями многочленов над полем, порожденным координатами предыдущих точек, степень которых не превышает второй. Это подразумевает, что степень расширения поля, порожденного построимой точкой, должна быть степенью 2. Однако степень расширения поля, порожденного кубическим корнем из двух, равна 3.

Доказательство невозможности

Начнем с единичного отрезка, определяемого точками (0,0) и (1,0) на плоскости. Требуется построить отрезок, заданный двумя точками, расстояние между которыми равно . Легко показать, что с помощью циркуля и линейки можно свободно перемещать такой отрезок, чтобы он касался начала координат, параллельно единичному отрезку. Следовательно, эквивалентно можно рассматривать задачу построения отрезка от (0,0) до (, 0), что сводится к построению точки (, 0). Соответственно, инструменты циркуля и линейки позволяют строить окружности с центром в ранее определенной точке, проходящие через другую, и прямые, проходящие через две ранее определенные точки. Любая вновь определенная точка возникает либо как результат пересечения двух таких окружностей, либо как пересечение окружности и прямой, либо как пересечение двух прямых. Упражнение элементарной аналитической геометрии показывает, что во всех трех случаях обе координаты – x и y – вновь определенной точки удовлетворяют полиному степени не выше второй, с коэффициентами, являющимися сложением, вычитанием, умножением и делением координат ранее определенных точек (и рациональных чисел). В более абстратных терминах, новые координаты x и y имеют минимальные полиномы степени не более 2 над подполем поля действительных чисел, порожденного предыдущими координатами. Следовательно, степень расширения поля, соответствующая каждой новой координате, равна 2 или 1. Таким образом, зная координаты любой построенной точки, можно последовательно вернуться к координатам x и y точек в порядке их определения, пока не достигнем исходных точек (0,0) и (1,0). Поскольку степень каждого расширения поля равна 2 или 1, и поскольку расширение поля над координатами исходной пары точек явно имеет степень 1, то по правилу о башне расширений степень расширения поля над любой координатой построенной точки является степенью 2. Теперь легко видеть, что p(x) = x³ − 2 = 0 является неприводимым полиномом над – любое разложение включало бы линейный множитель (x − k) для некоторого k ∈ , и, следовательно, k должен быть корнем p(x); но также k должен делить 2 (по теореме о рациональных корнях), то есть k = 1, 2, −1 или −2, и ни одно из этих значений не является корнем p(x). По лемме Гаусса, p(x) также неприводим над , и, следовательно, является минимальным полиномом над для . Расширение поля, следовательно, имеет степень 3. Но это не является степенью 2, поэтому, согласно вышесказанному, не является координатой построимой точки, и, следовательно, отрезок длины не может быть построен, и куб нельзя удвоить.

We begin with the unit line segment defined by points (0,0) and (1,0) in the plane. We are required to construct a line segment defined by two points separated by a distance of It is easily shown that compass and straightedge constructions would allow such a line segment to be freely moved to touch the origin, parallel with the unit line segment so equivalently we may consider the task of constructing a line segment from (0,0) to (, 0), which entails constructing the point (, 0). Respectively, the tools of a compass and straightedge allow us to create circles centred on one previously defined point and passing through another, and to create lines passing through two previously defined points. Any newly defined point either arises as the result of the intersection of two such circles, as the intersection of a circle and a line, or as the intersection of two lines. An exercise of elementary analytic geometry shows that in all three cases, both the x and y coordinates of the newly defined point satisfy a polynomial of degree no higher than a quadratic, with coefficients that are additions, subtractions, multiplications, and divisions involving the coordinates of the previously defined points (and rational numbers). Restated in more abstract terminology, the new x and y coordinates have minimal polynomials of degree at most 2 over the subfield of [[real number generated by the previous coordinates. Therefore, the degree of the field extension corresponding to each new coordinate is 2 or 1. So, given a coordinate of any constructed point, we may proceed inductively backwards through the x and y coordinates of the points in the order that they were defined until we reach the original pair of points (0,0) and (1,0). As every field extension has degree 2 or 1, and as the field extension over of the coordinates of the original pair of points is clearly of degree 1, it follows from the tower rule that the degree of the field extension over of any coordinate of a constructed point is a power of 2. Now, 1=p(x) = x^(3) − 2 = 0 is easily seen to be irreducible over – any factorisation would involve a linear factor (x − k) for some k ∈ , and so k must be a root of p(x); but also k must divide 2 (by the rational root theorem); that is, 1=k = 1, 2, −1 or −2, and none of these are roots of p(x). By Gauss's Lemma, p(x) is also irreducible over , and is thus a minimal polynomial over for The field extension is therefore of degree 3. But this is not a power of 2, so by the above, is not the coordinate of a constructible point, and thus a line segment of cannot be constructed, and the cube cannot be doubled.

Решение с помощью средств, отличных от компаса и прямых

Первоначальное решение Менахма основано на пересечении двух конических кривых. Другие, более сложные методы удвоения куба включают в себя неусис, циссоиду Диокла, конхоиду Никомеда или линию Филона. Пандросион, вероятно, женщина-математик из Древней Греции, нашла численно точное приближенное решение, используя плоскости в трех измерениях, но подверглась резкой критике Паппа Александрийского за отсутствие строгого математического доказательства. Архит решил эту задачу в IV веке до н.э. с помощью геометрического построения в трех измерениях, определив определенную точку как пересечение трех поверхностей вращения. Теория геометрического решения уравнений Декарта использует параболу для введения кубических уравнений, что позволяет составить уравнение, решением которого является кубический корень из двух. Следует отметить, что сама парабола не может быть построена иным способом, кроме как с использованием трехмерных методов. В литературе, посвященной математическим заблуждениям (псевдоматематике), широко распространены ложные утверждения об удвоении куба только с помощью циркуля и линейки. Также для построения кубического корня из двух можно использовать технику оригами, складывая бумагу.

Используя отмеченную линейку

Существует простая конструкция неусиса с использованием размеченной линейки для длины, которая является кубическим корнем из 2, умноженным на другую длину. Разметьте линейку заданной длиной; это в итоге будет GH. Постройте равносторонний треугольник ABC со стороной, равной заданной длине. Продлите AB на равную величину до точки D.
Продлите прямую BC, образуя прямую CE. Продлите прямую DC, образуя прямую CF. Разместите размеченную линейку так, чтобы она проходила через точку A, и один конец, G, размеченной длины оказался на луче CF, а другой конец размеченной длины, H, – на луче CE. Таким образом, GH равна заданной длине. Тогда AG равна заданной длине, умноженной на корень кубический из двух.

В теории музыки

В теории музыки естественным аналогом удвоения является октава (музыкальный интервал, возникающий при удвоении частоты тона), а естественным аналогом куба – деление октавы на три равные части, каждая из которых представляет собой один и тот же интервал. В этом смысле задача удвоения куба решается большой терцией в равном темпере. Это музыкальный интервал, который составляет ровно одну треть октавы. Он умножает частоту тона на число, равное длине стороны делийского куба.