Кіріспе
Идеалдар мен модульдердегі көпшелік сақиналардағы сызықтық қатынастар туралы теорема. Математикада Гилберттің сизигия теоремасы – көпшелік сақиналар туралы үш негізгі теореманың бірі, оны алғаш рет 1890 жылы Дэвид Гилберт дәлелдеген. Бұл теорема инвариант теориясындағы маңызды ашық сұрақтарды шешу үшін енгізілген және қазіргі алгебралық геометрияның негізі болып табылады. Қалған екі теорема – Гилберттің негіз теоремасы, ол көпшелік сақиналардың барлық идеалдары өрісте шекті түрде туындайды деп мәлімдейді, және Гилберттің Нөлдік теоремасы (Nullstellensatz), ол аффиндік алгебралық сорттар мен көпшелік сақиналардың жай идеалдары арасындағы өзара тепе-теңдік сәйкестікті орнатады. Гилберттің сизигия теоремасы идеалдың немесе, жалпы алғанда, модульдің генераторлары арасындағы қатынастарға, яғни Гилберттің терминологиясында сизигияларға қатысты. Қатынастар модуль құрағандықтан, қатынастар арасындағы қатынастарды қарастыруға болады. Теорема, егер осылай жалғаса берсе, өрістегі n белгісіздігі бар көпшелік сақинадағы модульден бастап, ең көп дегенде n қадамнан кейін қатынастардың нөлдік модулі табылады деп мәлімдейді. Гилберттің сизигия теоремасы қазір гомологиялық алгебраның алғашқы нәтижесі саналады. Ол коммутативтік алгебра мен алгебралық геометрияда гомологиялық әдістерді қолданудың бастапқы нүктесі болып табылады.
In mathematics, Hilbert's syzygy theorem is one of the three fundamental theorems about polynomial rings over fields, first proved by David Hilbert in 1890, that were introduced for solving important open questions in invariant theory, and are at the basis of modern algebraic geometry. The two other theorems are Hilbert's basis theorem, which asserts that all ideals of polynomial rings over a field are finitely generated, and Hilbert's Nullstellensatz, which establishes a bijective correspondence between affine algebraic varieties and prime ideals of polynomial rings. Hilbert's syzygy theorem concerns the relations, or syzygies in Hilbert's terminology, between the generators of an ideal, or, more generally, a module. As the relations form a module, one may consider the relations between the relations; the theorem asserts that, if one continues in this way, starting with a module over a polynomial ring in n indeterminates over a field, one eventually finds a zero module of relations, after at most n steps. Hilbert's syzygy theorem is now considered to be an early result of homological algebra. It is the starting point of the use of homological methods in commutative algebra and algebraic geometry.
Тарих
Сизигия теоремасы алғаш рет Гилберттің "Über die Theorie der algebraischen Formen" (1890) атты мақаласында пайда болды. Мақала бес бөлікке бөлінген: I бөлім өріс үстінде Хилберттің негізгі теоремасын дәлелдейді, ал II бөлім бүтін сандар үстінде дәлелдейді. III бөлімде Хилберт полиномиясын талқылау үшін IV бөлімде қолданылатын сизигия теоремасы (III теорема) қамтылған. Соңғы бөлім, V бөлім, белгілі бір инвариант сақиналарының шекті түрде жасалуын дәлелдейді. Айта кетейік, III бөлімде Хилберт-Бёрх теоремасының ерекше жағдайы да бар.
Төмен өлшем
Нөлдік белгісіздер жағдайында Гилберттің сизигия теоремасы – әрбір векторлық кеңістіктің негізі болатыны туралы қарапайым факт. Бір белгісіз болған жағдайда, Гилберттің сизигия теоремасы – негізгі идеалдық сақинада еркін модульдің кез келген субмодулінің өзі еркін екенін күндіздей жарықтайтын теореманың бір мысалы.
Есептеу
Гилберт заманында сизигияларды есептеуге арналған әдіс болған жоқ. Тек қана алгоритм сизигиялар модулінің генераторларының дәрежесінің жоғарғы шегінен туындатыны белгілі болды. Шындығында, сизигиялардың коэффициенттері белгісіз көпмүшелер. Егер осы көпмүшелердің дәрежесі шектелген болса, олардың мономиалдарының саны да шектелген болады. Сизигияның бар екенін білдіру – бұл мономиалдардың коэффициенттері белгісіз болатын сызықтық теңдеулер жүйесін береді. Сондықтан, сызықтық жүйелерге арналған кез келген алгоритм, дәрежелердің шегі белгілі болған жағдайда, сизигияларға арналған алгоритмді білдіреді. Сизигияларға (сондай-ақ идеал мүшелігі мәселесіне) алғашқы шектеуді 1926 жылы Грете Герман берген: M, t өлшемді L еркін модулінің субмодулі болсын, егер M-нің генерациялық жүйесінің L негізіндегі коэффициенттерінің жалпы дәрежесі d-ден аспаса, онда бірінші сизигия модулінің генерациялық жүйесінде кездесетін дәрежелер c тұрақтысынан аспайды. Бірақ мұндай мысалдар өте сирек, бұл нәтиже тым үлкен болмағанда тиімді алгоритмге қатысты сұрақ тудырады. Қазіргі уақытта сизигияларды есептеудің ең жақсы алгоритмдері – Грёбнер негізіне негіделген алгоритмдер. Олар алғашқы сизигия модулін есептеуге, сондай-ақ барлық сизигия модульдерін дерлік қосымша шығынсыз есептеуге мүмкіндік береді.
On the other hand, there are examples where a double exponential degree necessarily occurs. However such examples are extremely rare, and this sets the question of an algorithm that is efficient when the output is not too large. At the present time, the best algorithms for computing syzygies are Gröbner basis algorithms. They allow the computation of the first syzygy module, and also, with almost no extra cost, all syzygies modules.
Сизигиялар мен жүйелілік
Бір адамға қандай сақиналық теориялық қасиет Хилберт сизигиясы теоремасының орындалуына себеп болады деген ой келгені мүмкін. Көрсетілгендей, бұл – жүйелілік, яғни аффиндік n кеңістігінің сингулярлықтары жоқ алгебралық түрдегі сипаттамасы. Шындығында, келесі жалпылау орын алады: R – Noetherian сақина болсын. Онда R-дың шекті жаһандық өлшемі бар, егер және тек қана R жүйелі болса және R-дың Крулл өлшемі шекті болса; мұндай жағдайда R-дың жаһандық өлшемі Крулл өлшеміне тең. Бұл нәтиже Серренің жүйелі жергілікті сақиналар туралы теоремасын қолдану арқылы дәлелделуі мүмкін.
this is regularity, which is an algebraic formulation of the fact that affine n space is a variety without singularities. In fact the following generalization holds: Let be a Noetherian ring. Then has finite global dimension if and only if is regular and the Krull dimension of is finite; in that case the global dimension of is equal to the Krull dimension. This result may be proven using Serre's theorem on regular local rings.