Введение
Теорема о линейных отношениях в идеалах и модулях над полиномиальными кольцами
В математике теорема Гильберта о сизигиях является одной из трех фундаментальных теорем о полиномиальных кольцах над полями, впервые доказанной Давидом Гильбертом в 1890 году. Она была введена для решения важных открытых вопросов в теории инвариантов и лежит в основе современной алгебраической геометрии. Две другие теоремы – это теорема Гильберта об основаниях, утверждающая, что все идеалы полиномиальных колец над полем конечно порождены, и теорема Гильберта о нулях, устанавливающая биективное соответствие между аффинными алгебраическими многообразиями и простыми идеалами полиномиальных колец. Теорема Гильберта о сизигиях касается отношений, или сизигий в терминологии Гильберта, между образующими идеала или, в более общем случае, модуля. Поскольку сами отношения образуют модуль, можно рассматривать отношения между этими отношениями; теорема утверждает, что, продолжая таким образом, начиная с модуля над полиномиальным кольцом от n переменных над полем, в конечном итоге можно найти нулевой модуль отношений, не более чем через n шагов. Теорема Гильберта о сизигиях сейчас рассматривается как один из ранних результатов гомологической алгебры. Она является отправной точкой для применения гомологических методов в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
In mathematics, Hilbert's syzygy theorem is one of the three fundamental theorems about polynomial rings over fields, first proved by David Hilbert in 1890, that were introduced for solving important open questions in invariant theory, and are at the basis of modern algebraic geometry. The two other theorems are Hilbert's basis theorem, which asserts that all ideals of polynomial rings over a field are finitely generated, and Hilbert's Nullstellensatz, which establishes a bijective correspondence between affine algebraic varieties and prime ideals of polynomial rings. Hilbert's syzygy theorem concerns the relations, or syzygies in Hilbert's terminology, between the generators of an ideal, or, more generally, a module. As the relations form a module, one may consider the relations between the relations; the theorem asserts that, if one continues in this way, starting with a module over a polynomial ring in n indeterminates over a field, one eventually finds a zero module of relations, after at most n steps. Hilbert's syzygy theorem is now considered to be an early result of homological algebra. It is the starting point of the use of homological methods in commutative algebra and algebraic geometry.
История
Теорема о сизигии впервые появилась в основополагающей работе Гильберта "Über die Theorie der algebraischen Formen" (1890). Статья разделена на пять частей: часть I доказывает теорему о базисе Гильберта над полем, а часть II доказывает ее над целыми числами. Часть III содержит теорему о сизигии (теорема III), которая используется в части IV для обсуждения полинома Гильберта. Последняя часть, часть V, доказывает конечное порождение определенных колец инвариантов. К слову, часть III также содержит частный случай теоремы Гильберта — Бурча.
Низкий размер
В случае отсутствия неопределённых, теорема Гильберта о сизигиях — это просто факт, что каждое векторное пространство имеет базис. В случае единственного неопределённого теорема Гильберта о сизигиях является частным случаем теоремы, утверждающей, что над основным идеальным кольцом каждый подмодуль свободного модуля сам является свободным.
Вычисления
Во времена Гильберта не существовало метода для вычисления сизигий. Было известно лишь то, что алгоритм может быть выведен из любой верхней границы степени генераторов модуля сизигий. Фактически, коэффициенты сизигий – это неизвестные многочлены. Если степень этих многочленов ограничена, то и число их мономов также ограничено. Задание сизигии дает систему линейных уравнений, неизвестными в которой являются коэффициенты этих мономов. Следовательно, любой алгоритм для решения линейных систем подразумевает алгоритм для вычисления сизигий, как только известна граница степеней. Первая граница для сизигий (а также для задачи проверки принадлежности идеалу) была получена в 1926 году Грете Герман: пусть M – подмодуль свободного модуля L размерности t, и если коэффициенты генераторной системы M относительно базиса L имеют общую степень не более d, то существует константа c, такая что степени, встречающиеся в генераторной системе первого модуля сизигий, не превосходят c. Та же граница применима и для проверки принадлежности элемента L модулю M. С другой стороны, существуют примеры, где неизбежно возникает двойная экспоненциальная степень. Однако такие примеры крайне редки, что ставит вопрос о разработке алгоритма, эффективного в случаях, когда выходные данные не слишком велики. В настоящее время лучшими алгоритмами для вычисления сизигий являются алгоритмы, основанные на базисе Грёбнера. Они позволяют вычислить первый модуль сизигий, а также, с незначительными дополнительными затратами, все модули сизигий.
On the other hand, there are examples where a double exponential degree necessarily occurs. However such examples are extremely rare, and this sets the question of an algorithm that is efficient when the output is not too large. At the present time, the best algorithms for computing syzygies are Gröbner basis algorithms. They allow the computation of the first syzygy module, and also, with almost no extra cost, all syzygies modules.
Сизигии и регулярность
Можно было бы задаться вопросом, какое кольцевое теоретическое свойство обеспечивает выполнение теоремы Гильберта о сизигиях. Оказывается, это регулярность, которая является алгебраической формулировкой факта, что аффинное n-пространство является многообразием без особенностей. Более того, справедлива следующая обобщенная теорема: Пусть R – нётерово кольцо. Тогда R имеет конечную глобальную размерность тогда и только тогда, когда R регулярно и размерность Крулля R конечна; в этом случае глобальная размерность R равна размерности Крулля. Этот результат может быть доказан с использованием теоремы Серра о регулярных локальных кольцах.
this is regularity, which is an algebraic formulation of the fact that affine n space is a variety without singularities. In fact the following generalization holds: Let be a Noetherian ring. Then has finite global dimension if and only if is regular and the Krull dimension of is finite; in that case the global dimension of is equal to the Krull dimension. This result may be proven using Serre's theorem on regular local rings.