Кіріспе
Топтар теориясында дискретті топтағы сөз метрикасы – кез келген екі элементтің арасындағы қашықтықты өлшеу тәсілі. Аты айтқандай, сөз метрикасы – топтың генераторлық жиынынан алынған әріптерден құралған сөз ретінде олардың айырмашылығын қаншалықты тиімді түрде көрсетуге болатынын өлшейтін метрика. G тобындағы сөз метрикасы G тобының Кейли графигімен тығыз байланысты: сөз метрикасы G тобының екі элементі арасындағы ең қысқа жолдың ұзындығын өлшейді.
Сөз метрикасын анықтамас бұрын, G үшін генераторлық жиынтық таңдалуы керек. Генераторлық жиынтықтың әртүрлі таңдаулары әдетте әртүрлі сөз метрикаларын береді. Бұл сөз метрикасы тұжырымының кемшілігі сияқты көрінсе де, геометриялық топтар теориясында қолданылатындай, топтардың геометриялық қасиеттері туралы теоремаларды дәлелдеу үшін оны пайдалануға болады.
Бүкіл сандар тобы
Бүкіл сандар тобы {1,+1} жиынымен жасалады. 3 бүтін санын 1+1+1 немесе 1+1+1 түрінде, яғни осы генераторлар арқылы 5 ұзындығы бар сөз ретінде жазуға болады. Бірақ 3 санын ең тиімді түрде білдіретін сөз – 1+1+1, ол 3 ұзындығы бар сөз. Сондықтан, сөз метрикасында 0 мен 3 арасындағы қашықтық 3-ке тең. Көбінесе, екі бүтін санның m және n арасындағы қашықтық |m-n| тең, себебі m-n айырмасын көрсететін ең қысқа сөздің ұзындығы |m-n| шамасына тең.
Топтың
Мысал келтерімде, топтың элементтерін бүтін сандық коэффициенттері бар Декарт жазықтығындағы векторлар ретінде қарастыруға болады. Топ стандартты бірлік векторлармен және олардың керілерімен туындайды. Топтың Кейли графигі такси геометриясы деп аталады. Оны жазықтықта қала көшелерінің шексіз шаршы тор ретінде бейнелеуге болады, онда бүтін сандық координаттары бар әрбір көлденең және тік сызық көше болып табылады, ал топтың әрбір нүктесі көлденең және тік көшелердің қиылысында орналасқан. Екі төбе арасындағы әрбір көлденең кесінді, кесінді алға немесе артқа бағытталғандығына байланысты, туындататын векторды немесе көрсетеді, ал әрбір тік кесінді немесе көрсетеді. Машина бастапқы нүктеден және көшелер арқылы мақсатты нүктеге көптеген әртүрлі жолдармен жете алады. Бірақ қандай жол таңдалса да, машина кем дегенде |1 – 2| = 3 көлденең блок және кем дегенде |2 – 4| = 2 тік блок жүріп өтуі керек, яғни жалпы сапар қашықтығы кем дегенде 3 + 2 = 5 болуы тиіс. Егер машина қажетсіз жолға бұрылса, сапар ұзаққа созылуы мүмкін, бірақ машинамен жүрілген ең аз қашықтық, бастапқы және соңғы нүктелер арасындағы сөз метрикасына тең, сондықтан 5-ке тең. Жалпы, егер және топтың екі элементі болса, онда және арасындағы қашықтық сөз метрикасы бойынша тең.
Анықтама
G тобы болсын, S – G тобының туындататын жиыны болсын және S жиыны G тобындағы кері операцияға қатысты жабық деп есептейік. S жиынындағы сөз – S жиынының элементтерінен құралған шекті тізбек. L бүтін саны сөздің ұзындығы деп аталады. G тобындағы топтық амалды қолданып, сөздің элементтерін ретімен көбейтуге болады, олардың G тобының элементтері екенін ескере отырып. Осы көбейтудің нәтижесі G тобының элементі болып табылады, бұл w сөзінің мәні деп аталады. Ерекше жағдай ретінде, бос сөздің ұзындығы нөлге тең, ал оның мәні G тобының бірлік элементі болып табылады. G тобының g элементі үшін, S жиынына қатысты сөз нормасы |g| – S жиынындағы мәні g-ға тең болатын сөздің ең қысқа ұзындығы болып анықталады. G тобындағы екі g және h элементтері үшін, S жиынына қатысты сөз метрикасындағы арақашықтық d(g,h) былай анықталады: Басқаша айтқанда, d(g,h) – S жиынындағы w сөзінің ең қысқа ұзындығы, оның мәні g*h-қа тең. Сөз метрикасы G тобында метрика аксиомаларын қанағаттандырады, және мұны дәлелдеу қиын емес. Метрика үшін d(g,h) = d(h,g) симметрия аксиомасының дәлелі, S жиыны кері операцияға қатысты жабық деген болжамды пайдаланады.
Given an element g of G, its word norm |g| with respect to the generating set S is defined to be the shortest length of a word over S whose evaluation is equal to g. Given two elements g,h in G, the distance d(g,h) in the word metric with respect to S is defined to be Equivalently, d(g,h) is the shortest length of a word w over S such that
The word metric on G satisfies the axioms for a metric, and it is not hard to prove this. The proof of the symmetry axiom d(g,h) = d(h,g) for a metric uses the assumption that the generating set S is closed under inverse.
Вариациялар
Метрика сөзі Г тобының S генерациялық жиынына қатысты құрастырылған Кейли графигін пайдаланып, геометриялық тұрғыда анықталатын эквивалент анықтамаға ие. Кейли графигінің әр қабырғасына ұзындығы 1 болатын метрика тағайындалғанда, Г тобындағы g және h екі элементі арасындағы қашықтық, Кейли графигінде g төбесінен h төбесіне дейінгі ең қысқа жолдың ұзындығына тең болады. G тобындағы метрика сөзі S генерациялық жиынының кері шамаға қатысты жабық екенін қабылдамай-ақ анықталуы мүмкін. Мұны істеу үшін, бірінші кезекте S жиынын симметрияландырып, оны S жиынының әрбір элементінен және оның керісінен тұратын үлкен жиынмен ауыстырыңыз. Содан кейін S жиынына қатысты метрика сөзін, S жиынының симметриясына қатысты метрика сөзі деп анықтаңыз.
The word metric on G can also be defined without assuming that the generating set S is closed under inverse. To do this, first symmetrize S, replacing it by a larger generating set consisting of each in S as well as its inverse Then define the word metric with respect to S to be the word metric with respect to the symmetrization of S.
Еркін топтағы мысал
F екі элементтік жиынның еркін тобы болсын. Симметриялық тудыру жиынтығындағы w сөзі, егер w сөзінде әріптер бір-бірімен қатар келмесе, қысқартылған деп есептеледі. Кез келген элементтің бірегей қысқартылған сөз арқылы бейнеленуі мүмкін, және осы қысқартылған сөз g элементін білдіретін ең қысқа сөз болады. Мысалы, егер сөз қысқартылған және ұзындығы 2 болса, онда сөз нормасы 2-ге тең, демек, сөз нормасындағы арақашықтық пен 2-ге тең. Бұл Кейли графигі тұрғысынан қарастырылғанда, b мен a арасындағы ең қысқа жолдың ұзындығы 2 болады.
Сол жақ әрекеттің изометриясы
G тобы сол жақтан көбейту арқылы өзінің үстінде әрекет етеді: әрбір g элементінің әрекеті әрбір h элементін g*h-ға жібереді. Бұл әрекет сөз метрикасының изометриясы болып табылады. Дәлел қарапайым: g және h арасындағы қашықтық g*h-қа тең, ал бұл g*h және h арасындағы қашықтыққа да тең.
Топтың Билипшиц инварианттары
Жалпы, G тобындағы сөз метрикасы бірегей емес, себебі әртүрлі симметриялық генерациялау жиынтықтары әртүрлі сөз метрикаларын береді. Дегенмен, шектеулі түрде жасалған сөз метрикалары билипшиц эквиваленттілігіне дейін бірегей: егер S және T – G тобы үшін екі симметриялық, шекті генерациялау жиынтығы болса, сәйкес сөз метрикаларымен dS және dT, онда кез келген x үшін тұрақты K бар, осындай dS(x, y) ≤ K * dT(x, y).
Бұл тұрақты K – S жиынтығының элементтерінің сөз нормаларының және T жиынтығының элементтерінің сөз нормаларының максималды мәні. Бұл дәлелдеу де оңай: S жиынтығындағы кез келген сөзді T жиынтығындағы сөздерге ауыстыру арқылы, сөздің ұзындығын ең көп K есеге дейін ұзартуға болады, ал T жиынтығындағы сөздерді S жиынтығындағы сөздерге аудару үшін де осыған ұқсас түрлендірулер қолданылады.
Сөз метрикаларының билипшиц эквиваленттілігі өз кезегінде, шектеулі түрде жасалған топтың өсу деңгейі – топтың изоморфизм инварианты екенін білдіреді, ол генерациялау жиынтығының таңдалуына тәуелсіз. Бұл өз кезегінде өсудің әртүрлі қасиеттері, мысалы полиномиалдық өсім, полиномиалдық өсімнің дәрежесі және экспоненциалдық өсім, топтардың изоморфизм инварианттары болып табылады. Бұл тақырып топтың өсу қарқыны туралы мақалада толығырақ қарастырылады.
Топтың квазиизометриялық инварианттары
Геометриялық топтар теориясында топтар метрикалық кеңістіктердегі әрекеттері арқылы зерттеледі. Сөз метрикасының билипшиц инварианттылығын жалпылайтын принципке сәйкес, G-дегі кез келген шекті түрде жасалған сөз метрикасы, G-нің дұрыс үзіліссіз және кокомпактты әрекет ететін, кез келген тиісті геодезиялық метрикалық кеңістікке квазиизометриялық болып табылады. G осылай әрекет ететін метрикалық кеңістіктер G үшін модельдік кеңістіктер деп аталады. Осыдан келіп, G сөзінің метрикасы немесе G-нің кез келген модельдік кеңістігі қанағаттандыратын кез келген квазиизометриялық инвариантты қасиет, G-нің изоморфизм инварианты болып табылады. Қазіргі геометриялық топтар теориясы негізінен квазиизометриялық инварианттарды зерттеуден тұрады.
It follows in turn that any quasi isometrically invariant property satisfied by the word metric of G or by any model space of G is an isomorphism invariant of G. Modern geometric group theory is in large part the study of quasi isometry invariants.