Введение

В теории групп словометрика на дискретной группе — это способ измерения расстояния между любыми двумя элементами группы. Как следует из названия, словометрика является метрикой на , которая сопоставляет любым двум элементам , из расстояние, измеряющее, насколько эффективно их разность можно представить в виде слова, буквы которого взяты из образующего множества для группы. Словометрика на G тесно связана с графом Кейли для G: словометрика измеряет длину кратчайшего пути в графе Кейли между двумя элементами G. Прежде чем задать словометрику на , необходимо выбрать образующее множество. Различный выбор образующего множества обычно приводит к различным словометрикам. Хотя это может показаться недостатком концепции словометрики, это можно использовать для доказательства теорем о геометрических свойствах групп, как это делается в геометрической теории групп.

Группа целых чисел

Группа целых чисел порождается множеством {1, +1}. Целое число 3 можно представить как 1 1 1 + 1 1, слово длиной 5 в этих образующих. Но слово, наиболее эффективно представляющее 3 – это 1 1 1, слово длиной 3. Расстояние между 0 и 3 в метрике слов, следовательно, равно 3. В более общем случае, расстояние между двумя целыми числами m и n в метрике слов равно |m - n|, поскольку кратчайшее слово, представляющее разность m - n, имеет длину, равную |m - n|.

Группа

Для более иллюстративного примера, элементы группы можно рассматривать как векторы в декартовой плоскости с целочисленными коэффициентами. Группа порождена стандартными единичными векторами и их обратными. Граф Кейли этой группы представляет собой так называемую геометрию такси. Его можно изобразить в плоскости как бесконечную квадратную сетку городских улиц, где каждая горизонтальная и вертикальная линия с целочисленными координатами является улицей, а каждая точка лежит на пересечении горизонтальной и вертикальной улицы. Каждый горизонтальный отрезок между двумя вершинами представляет собой генерирующий вектор или , в зависимости от того, в прямом или обратном направлении движется отрезок, а каждый вертикальный отрезок представляет собой или . Автомобиль, начинающий движение из и двигающийся по улицам в , может совершить поездку по множеству различных маршрутов. Но независимо от выбранного маршрута, автомобилю необходимо проехать как минимум |1 – 2| = 3 горизонтальных блока и как минимум |2 – 4| = 2 вертикальных блока, что в сумме составляет расстояние не менее 3 + 2 = 5. Если автомобиль отклонится от кратчайшего пути, поездка может быть длиннее, но минимальное расстояние, пройденное автомобилем, равное метрике слова между и , следовательно, равно 5. В общем случае, для любых двух элементов и из , расстояние между и в метрике слова равно .

Определение

Пусть G — группа, S — порождающее множество для G, и предположим, что S замкнуто относительно операции взятия обратного в G. Слово над множеством S — это конечная последовательность, элементы которой принадлежат S. Целое число L называется длиной слова. Используя групповую операцию в G, элементы слова можно последовательно перемножать, помня, что эти элементы принадлежат G. Результат этого умножения — элемент группы G, который называется значением слова w. В качестве частного случая, пустое слово имеет длину, равную нулю, и его значение — нейтральный элемент G.

Для элемента g из G его норма слова |g| относительно порождающего множества S определяется как длина кратчайшего слова над S, значение которого равно g. Для двух элементов g и h из G, расстояние d(g, h) в метрике слов относительно S определяется как. Эквивалентно, d(g, h) — это длина кратчайшего слова w над S, такого что. Метрика слов на G удовлетворяет аксиомам метрики, и это несложно доказать. Доказательство аксиомы симметрии d(g, h) = d(h, g) для метрики использует предположение, что порождающее множество S замкнуто относительно операции взятия обратного.

Вариации

Слово "метрика" имеет эквивалентное определение, сформулированное в более геометрических терминах с использованием графа Кейли группы G относительно генерирующего множества S. Если каждому ребру графа Кейли присвоить метрику длины 1, то расстояние между двумя элементами группы g и h в G равно длине кратчайшего пути в графе Кейли от вершины g до вершины h.

Метрику на G можно также определить, не предполагая, что генерирующее множество S замкнуто относительно взятия обратного элемента. Для этого сначала симметризуют S, заменяя его большим генерирующим множеством, состоящим из каждого элемента s из S, а также его обратного элемента. Затем метрика относительно S определяется как метрика относительно симметризации S.

Пример в свободной группе

Предположим, что F — свободная группа на двухэлементном множестве. Слово w в симметричном порождающем множестве называется приведённым, если буквы не встречаются рядом друг с другом в w, и буквы также не встречаются рядом друг с другом. Каждый элемент представляется единственным приведённым словом, и это приведённое слово является самым коротким словом, представляющим g. Например, поскольку слово приведено и имеет длину 2, норма слова равна 2, следовательно, расстояние в норме слова между и равно 2. Это можно визуализировать на графе Кейли, где кратчайший путь между b и a имеет длину 2.

Изометрия левого действия

Группа G действует на себя посредством левого умножения: действие каждого элемента g переводит элемент h в g*h. Это действие является изометрией метрики слов. Доказательство простое: расстояние между h и k равно d(h, k), что равно расстоянию между g*h и g*k.

Инварианты Билипшица группы

В общем случае, словометрика на группе G не является единственной, поскольку различные симметричные образующие множества дают разные словометрики. Однако конечно порожденные словометрики уникальны с точностью до билипшицевой эквивалентности: если S и T – два симметричных, конечных образующих множества для G с соответствующими словометриками dS и dT, то существует константа K такая, что для любого x, dS(x, y) ≤ K * dT(x, y).

Эта константа K – это просто максимум словесных норм элементов S и словесных норм элементов T. Доказательство этого также просто: любое слово над S можно преобразовать заменой в слово над T, увеличив длину слова не более чем в K раз, и аналогично для преобразования слов над T в слова над S.

Билипшицева эквивалентность словометрик влечет за собой, что скорость роста конечно порожденной группы является хорошо определенным изоморфизмом инвариантом группы, не зависящим от выбора конечного образующего множества. Это, в свою очередь, означает, что различные свойства роста, такие как полиномиальный рост, степень полиномиального роста и экспоненциальный рост, являются изоморфизм инвариантами групп. Эта тема обсуждается подробнее в статье о скорости роста группы.

Квазиизометрические инварианты группы

В геометрической теории групп группы изучаются посредством их действий на метрических пространствах. Принцип, обобщающий билипшицеву инвариантность метрик слов, утверждает, что любая конечно порожденная метрика слов на группе G квазиизометрична любому полному геодезическому метрическому пространству, на котором G действует правильно, несвязно и кокомпактно. Метрические пространства, на которые G действует таким образом, называются моделями для G. Следовательно, любое квазиизометрически инвариантное свойство, выполняемое метрикой слов группы G или любым ее модельным пространством, является инвариантом изоморфизма для G. Современная геометрическая теория групп во многом посвящена изучению квазиизометрических инвариантов.