Моэр шеңбері: геометриялық есептеу әдісі және кернеулерді анықтау
Mohr's circle
Моэр шеңбері: геометриялық есептеу әдісі, инженерлік беріктік, топырақ механикасы, құрылымдарды есептеуде қолданылады. Басты жазықтықтарды анықтауға көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Геометриялық азаматтық инженерия есептеу техникасы
Geometric civil engineering calculation technique
Мор шеңбері – Коши кернеу тензоры үшін трансформация заңының екі өлшемді графикалық бейнесі. Мор шеңбері жиі материалдардың беріктігін есептеу үшін механикалық инженерияда, топырақтың беріктігін есептеу үшін геотехникалық инженерияда және құрылыс конструкцияларының беріктігін есептеу үшін құрылымдық инженерияда қолданылады. Ол сондай-ақ көптеген жазықтықтағы кернеулерді вертикальды және горизонтальды компоненттерге келтіру арқылы есептеу үшін пайдаланылады. Бұлар негізгі жазықтықтар деп аталады, онда негізгі кернеулер есептеледі; Мор шеңбері негізгі жазықтықтарды және негізгі кернеулерді графикалық түрде табу үшін де қолданылуы мүмкін, және бұл оны жасаудың ең оңай жолдарының бірі болып табылады. Материалдық денені үздіксіз орта ретінде қарастырып, кернеуді талдағаннан кейін, белгілі бір материалдық нүктедегі Коши кернеу тензорының компоненттері координаттар жүйесіне қатысты белгілі болады. Мор шеңбері содан кейін бұрылған координаттар жүйесінде әрекет ететін, яғни осы нүктеден өтетін басқа бағыттағы жазықтықта әрекет ететін кернеу компоненттерін графикалық түрде анықтау үшін қолданылады. Шеңбердегі әрбір нүктенің абсциссасы мен ординатасы (,) – бұрылған координаттар жүйесінде әрекет ететін нормальді және бағаналық кернеу компоненттерінің шамалары. Басқаша айтқанда, шеңбер – бұл барлық бағыттары бойынша жеке жазықтықтағы кернеу күйін көрсететін нүктелердің геометриялық орны, мұнда осьтер кернеу элементінің негізгі осьтерін көрсетеді. 19 ғасырдағы неміс инженері Карл Кульман алғаш рет горизонтальді сызықтардағы бойлық және тік кернеулерді ескере отырып, кернеулерді графикалық бейнелеуді ұсынды. Оның жұмысы оның қырдасы неміс инженері Кристиан Отто Мор (шеңбер оның атымен аталған), ол оны екі және үш өлшемді кернеулерге дейін кеңейтті және кернеу шеңберіне негізделген бұзу критерийін жасады. Кернеу күйін бір нүктеде бейнелеудің баламалы графикалық әдістеріне Ламе кернеу эллипсоиды және Коши кернеу квадрикасы жатады. Мор шеңбері кез келген симметриялық 2x2 тензорлық матрицаға, соның ішінде инерция тензорларының тартылуы мен моментіне де қолданылуы мүмкін.
Mohr's circle is a two dimensional graphical representation of the transformation law for the Cauchy stress tensor. Mohr's circle is often used in calculations relating to mechanical engineering for materials' strength, geotechnical engineering for strength of soils, and structural engineering for strength of built structures. It is also used for calculating stresses in many planes by reducing them to vertical and horizontal components. These are called principal planes in which principal stresses are calculated; Mohr's circle can also be used to find the principal planes and the principal stresses in a graphical representation, and is one of the easiest ways to do so. After performing a stress analysis on a material body assumed as a continuum, the components of the Cauchy stress tensor at a particular material point are known with respect to a coordinate system. The Mohr circle is then used to determine graphically the stress components acting on a rotated coordinate system, i. e., acting on a differently oriented plane passing through that point. The abscissa and ordinate (,) of each point on the circle are the magnitudes of the normal stress and shear stress components, respectively, acting on the rotated coordinate system. In other words, the circle is the locus of points that represent the state of stress on individual planes at all their orientations, where the axes represent the principal axes of the stress element. 19th century German engineer Karl Culmann was the first to conceive a graphical representation for stresses while considering longitudinal and vertical stresses in horizontal beams during bending. His work inspired fellow German engineer Christian Otto Mohr (the circle's namesake), who extended it to both two and three dimensional stresses and developed a failure criterion based on the stress circle. Alternative graphical methods for the representation of the stress state at a point include the Lamé's stress ellipsoid and Cauchy's stress quadric. The Mohr circle can be applied to any symmetric 2x2 tensor matrix, including the strain and moment of inertia tensors.
Мотивация
Ішкі күштер деформацияланатын объектінің бөлшектері арасында пайда болады, ол континуум ретінде қарастырылады, қолданылған сыртқы күштерге – яғни, беттік күштерге немесе дене күштеріне – реакция ретінде. Бұл реакция континуум үшін Эйлердің қозғалыс заңдарынан туындайды, олар бөлшектерге арналған Ньютонның қозғалыс заңдарымен эквивалентті. Бұл ішкі күштердің қарқындылығын өлшейтін шама – кернеу. Объект континуум ретінде қарастырылатындықтан, бұл ішкі күштер объектінің көлемінде үздіксіз таралады. Инженерлік салаларда, мысалы, құрылымдық, механикалық немесе геотехникалық, объектінің ішіндегі кернеудің таралуы – мысалы, туннель айналасындағы тау жынысы массасындағы, ұшақ қанаттарындағы немесе ғимарат бағаналарындағы кернеулер – кернеу талдауы арқылы анықталады. Кернеудің таралуын есептеу объектінің әрбір нүктесіндегі (материалдық бөлшектегі) кернеулерді анықтауды білдіреді. Кошидің сөзіне сәйкес, континуум ретінде қарастырылатын объектінің кез келген нүктесіндегі кернеу (2-сурет) Коши кернеу тензоры деп аталатын (2,0) типіндегі екінші реттік тензордың тоғыз кернеу компоненттерімен толық анықталады:
Internal forces are produced between the particles of a deformable object, assumed as a continuum, as a reaction to applied external forces, i. e., either surface forces or body forces. This reaction follows from Euler's laws of motion for a continuum, which are equivalent to Newton's laws of motion for a particle. A measure of the intensity of these internal forces is called stress. Because the object is assumed as a continuum, these internal forces are distributed continuously within the volume of the object. In engineering, e. g., structural, mechanical, or geotechnical, the stress distribution within an object, for instance stresses in a rock mass around a tunnel, airplane wings, or building columns, is determined through a stress analysis. Calculating the stress distribution implies the determination of stresses at every point (material particle) in the object. According to Cauchy, the stress at any point in an object (Figure 2), assumed as a continuum, is completely defined by the nine stress components of a second order tensor of type (2,0) known as the Cauchy stress tensor, :
Объектінің ішіндегі кернеу таралуы координаталар жүйесіне қатысты анықталғаннан кейін, кернеу тензорының компоненттерін белгілі бір материалдық нүктеде бұрылған координаталар жүйесіне қатысты есептеу қажет болуы мүмкін, яғни, осы қызығушылық тудыратын нүктеден бұрыш жасайтын басқа бағыттағы жазықтықта әрекет ететін кернеулерді (3-сурет) анықтау қажет. Мысалы, ең жоғары нормальді кернеуді және ең жоғары иілу кернеуін, сондай-ақ олардың әсер ететін жазықтықтардың бағытын анықтау маңызды. Мұны іске асыру үшін координаттар жүйесінің бұрылуы кезінде тензорлық түрлендіруді орындау қажет. Тензордың анықтамасы бойынша, Коши кернеу тензоры тензорлық түрлендіру заңына бағынады. Коши кернеу тензоры үшін бұл түрлендіру заңының графикалық бейнесі – кернеуге арналған Мор шеңбері.
After the stress distribution within the object has been determined with respect to a coordinate system , it may be necessary to calculate the components of the stress tensor at a particular material point with respect to a rotated coordinate system , i. e., the stresses acting on a plane with a different orientation passing through that point of interest —forming an angle with the coordinate system (Figure 3). For example, it is of interest to find the maximum normal stress and maximum shear stress, as well as the orientation of the planes where they act upon. To achieve this, it is necessary to perform a tensor transformation under a rotation of the coordinate system. From the definition of tensor, the Cauchy stress tensor obeys the tensor transformation law. A graphical representation of this transformation law for the Cauchy stress tensor is the Mohr circle for stress.
Екі өлшемді стресс жағдайы үшін Мор шеңбері
Екі өлшемде, берілген материал нүктесіндегі кез келген екі перпендикуляр бағыттағы кернеу тензоры тек үш кернеу компонентімен ғана толық анықталады. Белгілі бір координаттық жүйе үшін бұл кернеу компоненттері: қалыпты кернеулер σx және σy, және қисайту кернеуі τxy. Бұрыштық импульстің тепе-теңдігінен Коши кернеу тензорының симметриясын көрсетуге болады. Осы симметриядан τxy = τyx деген қорытынды шығады. Сондықтан, Коши кернеу тензоры былай жазылуы мүмкін:
In two dimensions, the stress tensor at a given material point with respect to any two perpendicular directions is completely defined by only three stress components. For the particular coordinate system these stress components are: the normal stresses and , and the shear stress From the balance of angular momentum, the symmetry of the Cauchy stress tensor can be demonstrated. This symmetry implies that Thus, the Cauchy stress tensor can be written as:
Мақсат – Мор шеңберін пайдаланып, айналған координаттар жүйесіндегі σx' және τxy' кернеу компоненттерін табу, яғни бастапқы жазықтыққа перпендикуляр және одан белгілі бір бұрышпен өтетін жазықтықта (Сурет 4). Айналған координаттар жүйесі бастапқы координаттар жүйесімен θ бұрыш жасайды.
The objective is to use the Mohr circle to find the stress components and on a rotated coordinate system , i. e., on a differently oriented plane passing through and perpendicular to the plane (Figure 4). The rotated coordinate system makes an angle with the original coordinate system .
Белгілік конвенциялар
Мор шеңберін қолданғанда ескерілуі тиіс екі түрлі шартты белгілер жиыны бар: біреуі – «нақты кеңістіктегі» кернеу компоненттері үшін, екіншісі – «Мор шеңбері кеңістігіндегі» кернеу компоненттері үшін. Бұған қоса, әрбір жиын шартты белгілерде инженерлік механика (құрылыс және машина жасау) әдебиеті геомеханика әдебиетінен өзгеше белгілерді қолданады. Бір стандартты шартты белгілер жиыны жоқ, және нақты мәселенің есептеуі мен түсіндіруіне ыңғайлы болуына байланысты белгілі бір жиын таңдалады. Осы шартты белгілердің толық түсіндірмесі төменде келтірілген. 4-суретті пайдаланып Мор шеңберінің теңдеуін шығару инженерлік механиканың шартты белгілеріне сәйкес келеді. Осы мақалада инженерлік механиканың шартты белгілері қолданылады.
There are two separate sets of sign conventions that need to be considered when using the Mohr Circle: One sign convention for stress components in the "physical space", and another for stress components in the "Mohr Circle space". In addition, within each of the two set of sign conventions, the engineering mechanics (structural engineering and mechanical engineering) literature follows a different sign convention from the geomechanics literature. There is no standard sign convention, and the choice of a particular sign convention is influenced by convenience for calculation and interpretation for the particular problem in hand. A more detailed explanation of these sign conventions is presented below. The previous derivation for the equation of the Mohr Circle using Figure 4 follows the engineering mechanics sign convention. The engineering mechanics sign convention will be used for this article.
Физикалық кеңістіктегі белгілер туралы конвенция
Кошидің кернеу тензорының конвенциясы бойынша (сурет 3 және сурет 4), кернеу компоненттеріндегі бірінші индекс кернеу компонентінің әсер ететін бетін, ал екінші индекс – кернеу компонентінің бағытын көрсетеді. Осылайша, қиылыс кернеуі осінің оң бағытындағы нормальдық вектормен және осінің оң бағытындағы бетке әсер етеді. Физикалық кеңістіктегі белгілер бойынша, оң нормальдық кернеулер әсер ететін жазықтықтан сыртқа қарай (созу), ал теріс нормальдық кернеулер әсер ететін жазықтыққа ішке қарай (сығу) бағытталған (сурет 5). Физикалық кеңістіктегі белгілер конвенциясында, оң қиылыс кернеулері материал элементінің оң беттеріне белгілі бір осьтің оң бағытында әсер етеді. Сондай-ақ, оң қиылыс кернеулері материал элементінің теріс беттеріне сол осьтің теріс бағытында әсер етеді. Оң беттің нормальдық векторы осьтің оң бағытында, ал теріс беттің нормальдық векторы осьтің теріс бағытында болады. Мысалы, және қиылыс кернеулері оң, себебі олар оң беттерге әсер етеді және тиісінше және осінің оң бағытында әсер етеді (сурет 3). Сол сияқты, кері бағыттағы және қиылыс кернеулері теріс белгіге ие, өйткені олар тиісінше және осінің теріс бағытында әсер етеді.
From the convention of the Cauchy stress tensor (Figure 3 and Figure 4), the first subscript in the stress components denotes the face on which the stress component acts, and the second subscript indicates the direction of the stress component. Thus is the shear stress acting on the face with normal vector in the positive direction of the axis, and in the positive direction of the axis. In the physical space sign convention, positive normal stresses are outward to the plane of action (tension), and negative normal stresses are inward to the plane of action (compression) (Figure 5). In the physical space sign convention, positive shear stresses act on positive faces of the material element in the positive direction of an axis. Also, positive shear stresses act on negative faces of the material element in the negative direction of an axis. A positive face has its normal vector in the positive direction of an axis, and a negative face has its normal vector in the negative direction of an axis. For example, the shear stresses and are positive because they act on positive faces, and they act as well in the positive direction of the axis and the axis, respectively (Figure 3). Similarly, the respective opposite shear stresses and acting in the negative faces have a negative sign because they act in the negative direction of the axis and axis, respectively.
Ең жоғары және ең төменгі қисаю қысымдарын анықтау
Ең жоғары және ең төменгі серпімді кернеулер шеңбердегі ең жоғары және ең төменгі нүктелердің координаталарымен сәйкес келеді. Бұл нүктелер шеңбердің центрінен өтетін тік сызықпен шеңбердің қиылысында жатыр. Осылайша, ең жоғары және ең төменгі серпімді кернеулердің шамасы шеңбер радиусының мәніне тең.
The maximum and minimum shear stresses correspond to the ordinates of the highest and lowest points on the circle, respectively. These points are located at the intersection of the circle with the vertical line passing through the center of the circle, Thus, the magnitude of the maximum and minimum shear stresses are equal to the value of the circle's radius
Кез келген жазықтықтағы кернеу компоненттерін табу
Жоғарыда айтылғандай, екі өлшемді кернеулік талдау жүргізілгеннен кейін материалдық нүктедегі , және кернеулік компоненттерін білеміз. Бұл кернеулік компоненттер 5-ші және 6-шы суреттерде көрсетілгендей, нүктеден өтетін және бір-біріне перпендикуляр екі жазықтықта әрекет етеді. Мор шеңбері кез келген жазықтықтағы бұрышпен өтетін кез келген нүктедегі , яғни шеңбердегі кез келген нүктелердің координаттарын анықтау үшін қолданылады. Мұны іске асыру үшін екі тәсіл бар: қос бұрыш әдісі және жазықтықтардың полюсі немесе бастапқы нүктесі әдісі.
As mentioned before, after the two dimensional stress analysis has been performed we know the stress components , , and at a material point These stress components act in two perpendicular planes and passing through as shown in Figure 5 and 6. The Mohr circle is used to find the stress components and , i. e., coordinates of any point on the circle, acting on any other plane passing through making an angle with the plane For this, two approaches can be used: the double angle, and the Pole or origin of planes.
Екі бұрыш
Сурет 6 көрсеткендей, жазықтықта әрекет ететін кернеу компоненттерін анықтау үшін, жазықтыққа қатысты сағат тіліне қарсы бұрышпен бұрыламыз, онда әрекет етеді, бұл кернеу нүктесінен сағат тіліне қарсы бірдей бағытта шеңбер бойында бұрышқа дейін жетеді, яғни Мохр шеңберіндегі түзулер мен арасындағы бұрыш. Екі бұрыш әдісі кез келген екі физикалық жазықтықтың (сурет 4) нормальдық векторлары арасындағы бұрыш, Мохр шеңберіндегі олардың сәйкес кернеу нүктелерін және шеңбердің орталығын қосатын екі түзудің арасындағы бұрыштың жартысына тең екендігіне негізделген. Бұл қос бұрыш қатынасы Мохр шеңберінің параметрлік теңдеулеріне байланысты. Сондай-ақ, 5-суреттегі материал элементінің маңындағы және жазықтықтары арасындағы бұрыш, Мохр шеңберінде қос бұрышпен көрсетілген бұрышпен бөлінетінін көруге болады.
As shown in Figure 6, to determine the stress components acting on a plane at an angle counterclockwise to the plane on which acts, we travel an angle in the same counterclockwise direction around the circle from the known stress point to point , i. e., an angle between lines and in the Mohr circle. The double angle approach relies on the fact that the angle between the normal vectors to any two physical planes passing through (Figure 4) is half the angle between two lines joining their corresponding stress points on the Mohr circle and the centre of the circle. This double angle relation comes from the fact that the parametric equations for the Mohr circle are a function of It can also be seen that the planes and in the material element around of Figure 5 are separated by an angle , which in the Mohr circle is represented by a angle (double the angle).
Ұшақтардың полюсі немесе шығу тегі
Екінші тәсіл Мор шеңберіндегі полюс немесе жазықтықтардың бастапқы нүктесі деп аталатын нүктені анықтауды қамтиды. Полюстен жүргізілген кез келген түзу сызық Мор шеңберін сол сызықпен бірдей бағытта (паралель) кеңістіктегі жазықтықтағы кернеу күйін көрсететін нүктеде қиып өтеді. Сондықтан, кез келген нақты жазықтықтағы және кернеу компоненттерін білгенде, сол жазықтыққа параллель сызықты Мор шеңберінің белгілі координаттары арқылы жүргізуге болады және осы сызықтың Мор шеңберімен қиылысқан жерін полюс ретінде анықтауға болады. Мысалы, 7-суретте көрсетілгендей, , және кернеу компоненттеріне ие кернеу күйін қарастырайық. Біріншіден, біз немесе, егер басқаша таңдасақ, осы екі сызықтың кез келгенінің Мохр шеңберімен қиылысқан жері полюс болады. Полюс анықталғаннан кейін, вертикальмен бұрыш жасайтын жазықтықтағы кернеу күйін табу үшін, яғни жазықтықтың нормаль векторы көлденең жазықтықпен бұрыш жасаса, онда біз полюстен сол жазықтыққа параллель сызық жүргізе аламыз (7-суретті қараңыз). Бұл жазықтықтағы нормальдық және бағаналық кернеулер сызық пен Мор шеңберінің қиылысқан нүктесінің координаттары болып табылады.
The second approach involves the determination of a point on the Mohr circle called the pole or the origin of planes. Any straight line drawn from the pole will intersect the Mohr circle at a point that represents the state of stress on a plane inclined at the same orientation (parallel) in space as that line. Therefore, knowing the stress components and on any particular plane, one can draw a line parallel to that plane through the particular coordinates and on the Mohr circle and find the pole as the intersection of such line with the Mohr circle. As an example, let's assume we have a state of stress with stress components , , and , as shown on Figure 7. First, we can draw a line from point parallel to the plane of action of , or, if we choose otherwise, a line from point parallel to the plane of action of The intersection of any of these two lines with the Mohr circle is the pole. Once the pole has been determined, to find the state of stress on a plane making an angle with the vertical, or in other words a plane having its normal vector forming an angle with the horizontal plane, then we can draw a line from the pole parallel to that plane (See Figure 7). The normal and shear stresses on that plane are then the coordinates of the point of intersection between the line and the Mohr circle.