Введение

Техника геометрических расчетов в строительстве. Круг Мора – это двумерное графическое представление закона преобразования тензора напряжений Коши. Круг Мора часто используется в расчетах, связанных с машиностроением для определения прочности материалов, геотехнической инженерией для определения прочности грунтов и строительной инженерией для определения прочности сооружений. Он также применяется для расчета напряжений в различных плоскостях путем сведения их к вертикальным и горизонтальным компонентам. Эти плоскости называются главными, в которых рассчитываются главные напряжения; круг Мора также может быть использован для графического определения главных плоскостей и главных напряжений, и является одним из самых простых способов это сделать. После проведения анализа напряжений в материальном теле, рассматриваемом как континуум, компоненты тензора напряжений Коши в определенной точке материала известны относительно выбранной системы координат. Затем круг Мора используется для графического определения компонентов напряжений, действующих на повернутую систему координат, то есть на плоскость, проходящую через эту точку, с другой ориентацией. Абсцисса и ордината (,) каждой точки на круге представляют собой величины нормального и касательного напряжения, соответственно, действующих на повернутую систему координат. Иными словами, круг является геометрическим местом точек, представляющих состояние напряжений на отдельных плоскостях во всех их ориентациях, где оси соответствуют главным осям элемента напряжения. Немецкий инженер XIX века Карл Кульман впервые предложил графическое представление напряжений при рассмотрении продольных и поперечных напряжений в горизонтальных балках при изгибе. Его работа вдохновила его соотечественника, инженера Кристиана Отто Мора (в честь которого назван круг), который распространил его на двумерные и трехмерные напряжения и разработал критерий прочности, основанный на круге напряжений. Альтернативные графические методы для представления напряженного состояния в точке включают эллипсоид напряжений Ламе и квадрику напряжений Коши. Круг Мора может быть применен к любой симметричной матрице тензора 2x2, включая тензоры деформаций и моментов инерции.

Мотивация

Внутренние силы возникают между частицами деформируемого объекта, рассматриваемого как континуум, в ответ на приложенные внешние силы, то есть либо поверхностные силы, либо объёмные силы. Эта реакция вытекает из законов движения Эйлера для континуума, которые эквивалентны законам движения Ньютона для частицы. Мерой интенсивности этих внутренних сил является напряжение. Поскольку объект рассматривается как континуум, эти внутренние силы распределены непрерывно по объёму объекта. В инженерных расчётах, например, в строительной механике, механике или геотехнике, распределение напряжений внутри объекта, например, напряжений в горной породе вокруг туннеля, крыльях самолёта или колоннах здания, определяется посредством анализа напряжённо-деформированного состояния. Расчёт распределения напряжений подразумевает определение напряжений в каждой точке (материальной частице) объекта. Согласно Коши, напряжение в любой точке объекта (рис. 2), рассматриваемого как континуум, полностью определяется девятью компонентами напряжения тензора второго порядка типа (2,0), известного как тензор напряжений Коши, :

После того, как распределение напряжений внутри объекта было определено относительно системы координат, может потребоваться вычислить компоненты тензора напряжений в конкретной материальной точке относительно повернутой системы координат, то есть напряжения, действующие на плоскости с иной ориентацией, проходящей через эту точку, образуя угол с системой координат (рис. 3). Например, представляет интерес определение максимального нормального напряжения и максимального касательного напряжения, а также ориентации плоскостей, на которых они действуют. Для этого необходимо выполнить преобразование тензора при повороте системы координат. По определению тензора, тензор напряжений Коши подчиняется закону преобразования тензоров. Графическим представлением этого закона преобразования для тензора напряжений Коши является круг Мора для напряжений.

Круг Мора для двухмерного состояния напряжения

В двух измерениях тензор напряжений в данной материальной точке относительно любых двух перпендикулярных направлений полностью определяется только тремя компонентами напряжений. Для конкретной системы координат эти компоненты напряжений: нормальные напряжения σₓ и σᵧ, и касательное напряжение τₓᵧ. Из условия баланса углового момента можно доказать симметрию тензора напряжений Коши. Эта симметрия означает, что τₓᵧ = τᵧₓ. Таким образом, тензор напряжений Коши может быть записан как:

Цель состоит в том, чтобы использовать круг Мора для определения компонентов напряжений σₓ' и σᵧ' в повернутой системе координат, то есть на плоскости с иной ориентацией, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости (рисунок 4). Повернутая система координат образует угол θ с исходной системой координат.

Конвенции о знаках

При использовании круга Мора необходимо учитывать два различных набора правил знаков: один для компонент напряжений в "физическом пространстве", а другой – для компонент напряжений в "пространстве круга Мора". Кроме того, в каждом из этих двух наборов правил знаков, литература по инженерной механике (строительной и машиностроительной) использует отличные от геомеханики правила знаков. Единого стандарта правил знаков не существует, и выбор конкретного набора определяется удобством вычислений и интерпретации для рассматриваемой задачи. Более подробное описание этих правил знаков приведено ниже. Предыдущий вывод уравнения круга Мора, основанный на рисунке 4, соответствует правилам знаков, принятым в инженерной механике. В данной статье будут использоваться правила знаков инженерной механики.

Конвенция о знаках физического пространства

Согласно условности тензора напряжений Коши (рисунок 3 и рисунок 4), первый индекс в компонентах напряжения обозначает поверхность, на которую действует данная компонента напряжения, а второй индекс указывает направление этой компоненты. Таким образом, – это касательное напряжение, действующее на поверхность с нормалью, направленной в положительном направлении оси и в положительном направлении оси . При принятой условности знаков в физическом пространстве, положительные нормальные напряжения направлены от плоскости действия наружу (растяжение), а отрицательные нормальные напряжения – внутрь плоскости действия (сжатие) (рисунок 5). При этой условности знаков, положительные касательные напряжения действуют на положительные грани элемента материала в положительном направлении оси. Также, положительные касательные напряжения действуют на отрицательные грани элемента материала в отрицательном направлении оси. Положительная грань имеет нормаль, направленную в положительном направлении оси, а отрицательная грань – нормаль, направленную в отрицательном направлении оси. Например, касательные напряжения и положительны, поскольку они действуют на положительные грани и направлены в положительном направлении оси и оси , соответственно (рисунок 3). Аналогично, соответствующие противоположные касательные напряжения и , действующие на отрицательные грани, имеют отрицательный знак, поскольку они направлены в отрицательном направлении оси и оси , соответственно.

Определение максимальных и минимальных напряжений сдвига

Максимальные и минимальные касательные напряжения соответствуют ординатам наивысшей и самой низкой точек на окружности соответственно. Эти точки расположены на пересечении окружности с вертикальной линией, проходящей через центр окружности. Таким образом, величина максимальных и минимальных касательных напряжений равна радиусу окружности.

Найти компоненты напряжения на произвольной плоскости

Как уже упоминалось ранее, после проведения двумерного анализа напряжений мы знаем компоненты напряжений σx, σy и τxy в материальной точке. Эти компоненты напряжений действуют в двух взаимно перпендикулярных плоскостях x и y, проходящих через эту точку, как показано на рисунках 5 и 6. Круг Мора используется для определения компонентов напряжений σx' и σy', то есть координат любой точки на окружности, действующих на любую другую плоскость, проходящую через эту точку и образующую угол θ с плоскостью x. Для этого можно использовать два подхода: метод двойного угла и метод полюса или начала координат плоскостей.

Двойной угол

Как показано на рисунке 6, для определения компонент напряжений, действующих на плоскости, отстоящей на угол против часовой стрелки от плоскости, на которой эти напряжения известны, мы поворачиваемся на угол в том же направлении против часовой стрелки по окружности от известной точки напряжения к точке , то есть на угол между линиями и на круге Мора. Метод двойного угла основан на том, что угол между нормалями к любым двум физическим плоскостям, проходящим через точку (рисунок 4), равен половине угла между двумя прямыми, соединяющими соответствующие точки напряжений на круге Мора с центром окружности. Эта зависимость двойного угла вытекает из того, что параметрические уравнения круга Мора являются функцией . Также можно заметить, что плоскости и в элементе материала вокруг точки на рисунке 5 разделены углом , который на круге Мора представлен углом в два раза больше (двойным углом).

Полюс или начало плоскостей

Второй подход заключается в определении точки на круге Мора, называемой полюсом или началом координат плоскостей. Любая прямая, проведенная из полюса, пересечет круг Мора в точке, представляющей состояние напряжений на плоскости, наклоненной в пространстве в той же ориентации (параллельно) этой прямой. Следовательно, зная компоненты напряжений σ и τ на любой конкретной плоскости, можно провести линию, параллельную этой плоскости, через соответствующие координаты σ и τ на круге Мора, и найти полюс как точку пересечения этой линии с кругом Мора. В качестве примера, предположим, что у нас есть состояние напряжений с компонентами σx, σy и τxy, как показано на рисунке 7. Сначала мы можем провести линию из точки σx, параллельную плоскости действия σx, или, если выбрать иначе, линию из точки σy, параллельную плоскости действия τxy. Точка пересечения любой из этих двух линий с кругом Мора и будет являться полюсом. После определения полюса, чтобы найти состояние напряжений на плоскости, образующей угол θ с вертикалью, или, другими словами, плоскость, нормаль которой образует угол θ с горизонтальной плоскостью, можно провести линию из полюса, параллельную этой плоскости (см. рисунок 7). Нормальное и касательное напряжения на этой плоскости будут координатами точки пересечения этой линии с кругом Мора.