Кіріспе
Математикадағы жалпы термин.
the general term in mathematics
Математикада "модуль" термині ("modulus" сөзінің латынша аблятив түрінен шыққан, ол өзі "кішкентай өлшем" дегенді білдіреді) көбінесе екі түрлі математикалық объектінің эквивалентті деп қарастырылуын білдіру үшін қолданылады – егер олардың айырмашылығы қосымша фактормен түсіндірілсе. Бұл термин алғаш рет 1801 жылы Карл Фридрих Гаусс модульдік арифметика контекстінде математикаға енгізді. Содан бері термин көптеген мағыналарға ие болды – кейбіреулері дәл, ал кейбіреулері бұрыс (мысалы, "модуль" терминін "есепке алмағанда" дегенмен теңеу). Көбінесе бұл термин мынадай түрінде кездеседі:
A, C модулі бойынша B-мен бірдей,
бұл көбінесе "A, C-ге дейін B-мен бірдей" дегенмен мағынасы бірдей және A мен B C арқылы түсіндірілетін немесе есепке алынатын айырмашылықтарды қоспағанда бірдей дегенді білдіреді.
A and B are the same—except for differences accounted for or explained by C.
Тарих
Модуль – 1801 жылы Карл Фридрих Гаусс Disquisitiones Arithmeticae кітабында математикаға енгізген математикалық термин. a, b және n бүтін сандарын қарастыра отырып, "a ≡ b (mod n)" өрнегі, "a саны n модулі бойынша b санына конгруэнтті" деп оқылады, яғни a – b саны n-нің есесі болады немесе, баламалы түрде, a және b сандары n-ге бөлінгенде бірдей қалдық береді. Бұл сөз модульдің латын тіліндегі аблатив түрі, ол "шағын өлшем" деген мағынаны білдіреді. Бұл термин жылдар бойында көптеген мағыналарға ие болды – кейбіреуі нақты, ал кейбіреуі дәл емес. Ең жалпы нақты анықтама – R эквиваленттік қатынасы түрінде, онда a саны aRb шарты орындалса, R модулі бойынша b санына эквивалентті (немесе конгруэнтті) болады.
Құрылыстар
"Модуль" термині әртүрлі математикалық құрылымдарға қатысты түрліше қолданылуы мүмкін. Мысалы: Егер ab−1 қалыпты кіші топтың мүшесі болса, онда топтың екі мүшесі a және b, қалыпты кіші топ бойынша сәйкес келеді (толықрақ мәлімет үшін үлестік топ және изоморфизм теоремасын қараңыз). Сақинаның немесе алгебраның екі мүшесі, егер олардың айырмасы идеалда жатса, идеал бойынша сәйкес келеді. Группадан (немесе сақинадан) қалыпты кіші топты (немесе идеалды) бөліп шығару амалы көбінесе "модке алу" немесе "қазір модке алайық" деп аталады. Шеңберсіз жиынның екі ішкі жиыны, егер олардың симметриялық айырмасы шекті болса, шекті жиынға қатысты тең болады, яғни бірінші ішкі жиыннан шекті бөлікті алып тастап, содан кейін оған шекті бөлікті қоссаңыз, екінші ішкі жиынды алуға болады. Суреттердің қысқа дәл тізбегі, бір кеңістіктің екіншісіне қатысты модульдік кеңістік анықтамасына әкеледі; мысалы, кохомология – бұл жабық формалардың нақты формалар бойынша модульдік кеңістігі.
Two members a and b of a group are congruent modulo a normal subgroup, if and only if ab−1 is a member of the normal subgroup (see quotient group and isomorphism theorem for more). Two members of a ring or an algebra are congruent modulo an ideal, if the difference between them is in the ideal. Used as a verb, the act of factoring out a normal subgroup (or an ideal) from a group (or ring) is often called "modding out the " or "we now mod out the ". Two subsets of an infinite set are equal modulo finite sets precisely if their symmetric difference is finite, that is, you can remove a finite piece from the first subset, then add a finite piece to it, and get the second subset as a result. A short exact sequence of maps leads to the definition of a quotient space as being one space modulo another; thus, for example, that a cohomology is the space of closed forms modulo exact forms.
Модтау
Жалпы, modding – бұл шамалы бейресми термин, ол әдетте ерекше саналатын нәрселерді тең деп жариялауды білдіреді. Мысалы, 1 4 2 8 5 7 тізбегі 7 1 4 2 8 5 тізбегімен бірдей деп есептелсін, себебі олардың әрқайсысы екіншісінің циклдық түрде ығыстырылған нұсқасы болып табылады:
Осы жағдайда, біреуі "циклдық ығысулар бойынша modding жасап отыр".