Введение
В математике термин "модуло" ("относительно модуля", латинское аблятивное от слова modulus, которое само по себе означает "мера") часто используется для утверждения, что два различных математических объекта можно считать эквивалентными, если их разность учитывается дополнительным фактором. Он был впервые введен в математику Карлом Фридрихом Гауссом в 1801 году в контексте модульной арифметики. С тех пор термин приобрел множество значений – некоторые точные, а некоторые неточные (например, отождествление "модуло" с "за исключением"). В основном этот термин встречается в утверждениях вида:
the general term in mathematics
In mathematics, the term modulo ("with respect to a modulus of", the Latin ablative of modulus which itself means "a small measure") is often used to assert that two distinct mathematical objects can be regarded as equivalent—if their difference is accounted for by an additional factor. It was initially introduced into mathematics in the context of modular arithmetic by Carl Friedrich Gauss in 1801. Since then, the term has gained many meanings—some exact and some imprecise (such as equating "modulo" with "except for"). For the most part, the term often occurs in statements of the form:
A is the same as B modulo C
which is often equivalent to "A is the same as B up to C", and means
A and B are the same—except for differences accounted for or explained by C.
A то же самое, что и B по модулю C,
the general term in mathematics
In mathematics, the term modulo ("with respect to a modulus of", the Latin ablative of modulus which itself means "a small measure") is often used to assert that two distinct mathematical objects can be regarded as equivalent—if their difference is accounted for by an additional factor. It was initially introduced into mathematics in the context of modular arithmetic by Carl Friedrich Gauss in 1801. Since then, the term has gained many meanings—some exact and some imprecise (such as equating "modulo" with "except for"). For the most part, the term often occurs in statements of the form:
A is the same as B modulo C
which is often equivalent to "A is the same as B up to C", and means
A and B are the same—except for differences accounted for or explained by C.
что часто эквивалентно "A то же самое, что и B с точностью до C", и означает, что A и B одинаковы, за исключением различий, объясняемых C.
the general term in mathematics
In mathematics, the term modulo ("with respect to a modulus of", the Latin ablative of modulus which itself means "a small measure") is often used to assert that two distinct mathematical objects can be regarded as equivalent—if their difference is accounted for by an additional factor. It was initially introduced into mathematics in the context of modular arithmetic by Carl Friedrich Gauss in 1801. Since then, the term has gained many meanings—some exact and some imprecise (such as equating "modulo" with "except for"). For the most part, the term often occurs in statements of the form:
A is the same as B modulo C
which is often equivalent to "A is the same as B up to C", and means
A and B are the same—except for differences accounted for or explained by C.
История
Модуль — математический термин, впервые введенный в математику Карлом Фридрихом Гауссом в 1801 году в книге Disquisitiones Arithmeticae. Для целых чисел a, b и n выражение "a ≡ b (mod n)", которое произносится как "a сравнимо с b по модулю n", означает, что a − b является целым кратным n, или, что эквивалентно, a и b дают одинаковый остаток при делении на n. Это латинское аблятивное от слова modulus, которое само по себе означает «малая мера». Со временем термин приобрел множество значений — как точных, так и неточных. Наиболее общее точное определение формулируется через отношение эквивалентности R, где a эквивалентно (или сравнимо) b по модулю R, если выполняется условие aRb.
Структуры
Термин "модуль" может использоваться по-разному в зависимости от рассматриваемой математической структуры. Например: два элемента a и b группы сравнимы по модулю нормальной подгруппы, если и только если ab⁻¹ принадлежит этой нормальной подгруппе (см. понятие факторгруппы и теорему об изоморфизме для получения дополнительной информации). Два элемента кольца или алгебры сравнимы по модулю идеала, если их разность принадлежит идеалу. В качестве глагола, операция выделения нормальной подгруппы (или идеала) из группы (или кольца) часто называется "факторизацией по" или "мы факторизуем по". Два подмножества бесконечного множества равны по модулю конечных множеств тогда и только тогда, когда их симметрическая разность является конечной, то есть из первого подмножества можно удалить конечное множество элементов, а затем добавить к нему другое конечное множество, чтобы получить второе подмножество. Короткая точная последовательность отображений приводит к определению факторпространства как пространства, полученного делением одного пространства на другое; таким образом, например, кохомология – это пространство замкнутых форм по модулю точных форм.
Two members a and b of a group are congruent modulo a normal subgroup, if and only if ab−1 is a member of the normal subgroup (see quotient group and isomorphism theorem for more). Two members of a ring or an algebra are congruent modulo an ideal, if the difference between them is in the ideal. Used as a verb, the act of factoring out a normal subgroup (or an ideal) from a group (or ring) is often called "modding out the " or "we now mod out the ". Two subsets of an infinite set are equal modulo finite sets precisely if their symmetric difference is finite, that is, you can remove a finite piece from the first subset, then add a finite piece to it, and get the second subset as a result. A short exact sequence of maps leads to the definition of a quotient space as being one space modulo another; thus, for example, that a cohomology is the space of closed forms modulo exact forms.
Модирование
В целом, "модирование по классу эквивалентности" – это несколько неформальный термин, означающий объявление вещей эквивалентными, которые в противном случае считались бы различными. Например, предположим, что последовательность 1 4 2 8 5 7 следует рассматривать как идентичную последовательности 7 1 4 2 8 5, поскольку каждая из них является циклическим сдвигом другой: в этом случае говорят, что выполняется "модирование по циклическим сдвигам".
In that case, one is "modding out by cyclic shifts".