Введение
геометрическая фигура. Плоская кривая: конический разрез.
Plane curve: conic section
In mathematics, an ellipse is a plane curve surrounding two focal points, such that for all points on the curve, the sum of the two distances to the focal points is a constant. It generalizes a circle, which is the special type of ellipse in which the two focal points are the same. The elongation of an ellipse is measured by its eccentricity , a number ranging from (the limiting case of a circle) to (the limiting case of infinite elongation, no longer an ellipse but a parabola). An ellipse has a simple algebraic solution for its area, but only approximations for its perimeter (also known as circumference), for which integration is required to obtain an exact solution. Analytically, the equation of a standard ellipse centered at the origin with width and height is:
Assuming , the foci are for The standard parametric equation is:
Ellipses are the closed type of conic section: a plane curve tracing the intersection of a cone with a plane (see figure). Ellipses have many similarities with the other two forms of conic sections, parabolas and hyperbolas, both of which are open and unbounded. An angled cross section of a right circular cylinder is also an ellipse. An ellipse may also be defined in terms of one focal point and a line outside the ellipse called the directrix: for all points on the ellipse, the ratio between the distance to the focus and the distance to the directrix is a constant. This constant ratio is the above mentioned eccentricity:
Ellipses are common in physics, astronomy and engineering. For example, the orbit of each planet in the Solar System is approximately an ellipse with the Sun at one focus point (more precisely, the focus is the barycenter of the Sunplanet pair). The same is true for moons orbiting planets and all other systems of two astronomical bodies. The shapes of planets and stars are often well described by ellipsoids. A circle viewed from a side angle looks like an ellipse: that is, the ellipse is the image of a circle under parallel or perspective projection. The ellipse is also the simplest Lissajous figure formed when the horizontal and vertical motions are sinusoids with the same frequency: a similar effect leads to elliptical polarization of light in optics. The name, ἔλλειψις (, "omission"), was given by Apollonius of Perga in his Conics.
В математике эллипс — это плоская кривая, заключающая в себе две фокальные точки, так что для всех точек на кривой сумма расстояний до этих точек постоянна. Он является обобщением окружности, которая представляет собой частный случай эллипса, когда обе фокальные точки совпадают. Вытянутость эллипса измеряется его эксцентриситетом — числом в диапазоне от 0 (предельный случай окружности) до 1 (предельный случай бесконечной вытянутости, при котором фигура перестаёт быть эллипсом и становится параболой). Для площади эллипса существует простое алгебраическое решение, однако для его периметра (также известного как длина окружности) доступны лишь приближённые значения, для получения точного результата требуется интегрирование. Аналитически уравнение стандартного эллипса с центром в начале координат, шириной 2a и высотой 2b, имеет вид:
Plane curve: conic section
In mathematics, an ellipse is a plane curve surrounding two focal points, such that for all points on the curve, the sum of the two distances to the focal points is a constant. It generalizes a circle, which is the special type of ellipse in which the two focal points are the same. The elongation of an ellipse is measured by its eccentricity , a number ranging from (the limiting case of a circle) to (the limiting case of infinite elongation, no longer an ellipse but a parabola). An ellipse has a simple algebraic solution for its area, but only approximations for its perimeter (also known as circumference), for which integration is required to obtain an exact solution. Analytically, the equation of a standard ellipse centered at the origin with width and height is:
Assuming , the foci are for The standard parametric equation is:
Ellipses are the closed type of conic section: a plane curve tracing the intersection of a cone with a plane (see figure). Ellipses have many similarities with the other two forms of conic sections, parabolas and hyperbolas, both of which are open and unbounded. An angled cross section of a right circular cylinder is also an ellipse. An ellipse may also be defined in terms of one focal point and a line outside the ellipse called the directrix: for all points on the ellipse, the ratio between the distance to the focus and the distance to the directrix is a constant. This constant ratio is the above mentioned eccentricity:
Ellipses are common in physics, astronomy and engineering. For example, the orbit of each planet in the Solar System is approximately an ellipse with the Sun at one focus point (more precisely, the focus is the barycenter of the Sunplanet pair). The same is true for moons orbiting planets and all other systems of two astronomical bodies. The shapes of planets and stars are often well described by ellipsoids. A circle viewed from a side angle looks like an ellipse: that is, the ellipse is the image of a circle under parallel or perspective projection. The ellipse is also the simplest Lissajous figure formed when the horizontal and vertical motions are sinusoids with the same frequency: a similar effect leads to elliptical polarization of light in optics. The name, ἔλλειψις (, "omission"), was given by Apollonius of Perga in his Conics.
При этом фокусы расположены в точках , а стандартное параметрическое уравнение выглядит так:
Plane curve: conic section
In mathematics, an ellipse is a plane curve surrounding two focal points, such that for all points on the curve, the sum of the two distances to the focal points is a constant. It generalizes a circle, which is the special type of ellipse in which the two focal points are the same. The elongation of an ellipse is measured by its eccentricity , a number ranging from (the limiting case of a circle) to (the limiting case of infinite elongation, no longer an ellipse but a parabola). An ellipse has a simple algebraic solution for its area, but only approximations for its perimeter (also known as circumference), for which integration is required to obtain an exact solution. Analytically, the equation of a standard ellipse centered at the origin with width and height is:
Assuming , the foci are for The standard parametric equation is:
Ellipses are the closed type of conic section: a plane curve tracing the intersection of a cone with a plane (see figure). Ellipses have many similarities with the other two forms of conic sections, parabolas and hyperbolas, both of which are open and unbounded. An angled cross section of a right circular cylinder is also an ellipse. An ellipse may also be defined in terms of one focal point and a line outside the ellipse called the directrix: for all points on the ellipse, the ratio between the distance to the focus and the distance to the directrix is a constant. This constant ratio is the above mentioned eccentricity:
Ellipses are common in physics, astronomy and engineering. For example, the orbit of each planet in the Solar System is approximately an ellipse with the Sun at one focus point (more precisely, the focus is the barycenter of the Sunplanet pair). The same is true for moons orbiting planets and all other systems of two astronomical bodies. The shapes of planets and stars are often well described by ellipsoids. A circle viewed from a side angle looks like an ellipse: that is, the ellipse is the image of a circle under parallel or perspective projection. The ellipse is also the simplest Lissajous figure formed when the horizontal and vertical motions are sinusoids with the same frequency: a similar effect leads to elliptical polarization of light in optics. The name, ἔλλειψις (, "omission"), was given by Apollonius of Perga in his Conics.
Эллипсы относятся к замкнутому типу конических сечений — плоской кривой, образующейся при пересечении конуса плоскостью (см. рисунок). Эллипсы имеют много общего с двумя другими типами конических сечений — параболами и гиперболами, которые являются открытыми и неограниченными. Эллипс также получается при наклонном сечении прямого кругового цилиндра. Эллипс можно определить также через одну фокальную точку и прямую вне эллипса, называемую директрисой: для всех точек на эллипсе отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы постоянно. Это постоянное отношение и есть вышеупомянутый эксцентриситет:
Plane curve: conic section
In mathematics, an ellipse is a plane curve surrounding two focal points, such that for all points on the curve, the sum of the two distances to the focal points is a constant. It generalizes a circle, which is the special type of ellipse in which the two focal points are the same. The elongation of an ellipse is measured by its eccentricity , a number ranging from (the limiting case of a circle) to (the limiting case of infinite elongation, no longer an ellipse but a parabola). An ellipse has a simple algebraic solution for its area, but only approximations for its perimeter (also known as circumference), for which integration is required to obtain an exact solution. Analytically, the equation of a standard ellipse centered at the origin with width and height is:
Assuming , the foci are for The standard parametric equation is:
Ellipses are the closed type of conic section: a plane curve tracing the intersection of a cone with a plane (see figure). Ellipses have many similarities with the other two forms of conic sections, parabolas and hyperbolas, both of which are open and unbounded. An angled cross section of a right circular cylinder is also an ellipse. An ellipse may also be defined in terms of one focal point and a line outside the ellipse called the directrix: for all points on the ellipse, the ratio between the distance to the focus and the distance to the directrix is a constant. This constant ratio is the above mentioned eccentricity:
Ellipses are common in physics, astronomy and engineering. For example, the orbit of each planet in the Solar System is approximately an ellipse with the Sun at one focus point (more precisely, the focus is the barycenter of the Sunplanet pair). The same is true for moons orbiting planets and all other systems of two astronomical bodies. The shapes of planets and stars are often well described by ellipsoids. A circle viewed from a side angle looks like an ellipse: that is, the ellipse is the image of a circle under parallel or perspective projection. The ellipse is also the simplest Lissajous figure formed when the horizontal and vertical motions are sinusoids with the same frequency: a similar effect leads to elliptical polarization of light in optics. The name, ἔλλειψις (, "omission"), was given by Apollonius of Perga in his Conics.
Эллипсы широко распространены в физике, астрономии и технике. Например, орбита каждой планеты в Солнечной системе приблизительно представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце (точнее, фокус совпадает с барицентром системы Солнце-планета). То же справедливо и для спутников, обращающихся вокруг планет, и для любых других систем, состоящих из двух астрономических тел. Формы планет и звёзд часто хорошо описываются эллипсоидами. Окружность, рассматриваемая под углом, выглядит как эллипс: то есть эллипс является проекцией окружности при параллельной или перспективной проекции. Эллипс также является простейшей фигурой Лиссажу, возникающей при сочетании горизонтальных и вертикальных синусоидальных колебаний с одинаковой частотой: аналогичный эффект приводит к эллиптической поляризации света в оптике. Название ἔλλειψις (élleipsis), означающее «недостаток», «упущение», было дано эллипсу Аполлонием Пергским в его труде «Конические сечения».
Plane curve: conic section
In mathematics, an ellipse is a plane curve surrounding two focal points, such that for all points on the curve, the sum of the two distances to the focal points is a constant. It generalizes a circle, which is the special type of ellipse in which the two focal points are the same. The elongation of an ellipse is measured by its eccentricity , a number ranging from (the limiting case of a circle) to (the limiting case of infinite elongation, no longer an ellipse but a parabola). An ellipse has a simple algebraic solution for its area, but only approximations for its perimeter (also known as circumference), for which integration is required to obtain an exact solution. Analytically, the equation of a standard ellipse centered at the origin with width and height is:
Assuming , the foci are for The standard parametric equation is:
Ellipses are the closed type of conic section: a plane curve tracing the intersection of a cone with a plane (see figure). Ellipses have many similarities with the other two forms of conic sections, parabolas and hyperbolas, both of which are open and unbounded. An angled cross section of a right circular cylinder is also an ellipse. An ellipse may also be defined in terms of one focal point and a line outside the ellipse called the directrix: for all points on the ellipse, the ratio between the distance to the focus and the distance to the directrix is a constant. This constant ratio is the above mentioned eccentricity:
Ellipses are common in physics, astronomy and engineering. For example, the orbit of each planet in the Solar System is approximately an ellipse with the Sun at one focus point (more precisely, the focus is the barycenter of the Sunplanet pair). The same is true for moons orbiting planets and all other systems of two astronomical bodies. The shapes of planets and stars are often well described by ellipsoids. A circle viewed from a side angle looks like an ellipse: that is, the ellipse is the image of a circle under parallel or perspective projection. The ellipse is also the simplest Lissajous figure formed when the horizontal and vertical motions are sinusoids with the same frequency: a similar effect leads to elliptical polarization of light in optics. The name, ἔλλειψις (, "omission"), was given by Apollonius of Perga in his Conics.
Основные оси
В течение всей статьи полубольшая и полумалая оси обозначаются как *a* и *b* соответственно, то есть, в принципе, каноническое уравнение эллипса может иметь *a* < *b* (и, следовательно, эллипс будет выше, чем шире). Эта форма может быть преобразована в стандартную форму путем перестановки переменных *x* и *y* и параметров *a* и *b*.
In principle, the canonical ellipse equation may have (and hence the ellipse would be taller than it is wide). This form can be converted to the standard form by transposing the variable names and and the parameter names and
Линейная эксцентричность
Это расстояние от центра до фокуса: .
Полуполосатый ректум
Длина хорды, проходящей через один из фокусов и перпендикулярной большой оси, называется параметром (или фокальным параметром). Половина параметра называется полупараметром. Расчет показывает: полупараметр равен радиусу кривизны в вершинах (см. раздел "Кривизна").
The semi latus rectum is equal to the radius of curvature at the vertices (see section curvature).
Ортогональные тангенсы
Для эллипса точки пересечения ортогональных касательных лежат на окружности. Эта окружность называется ортоптической или директорской окружностью эллипса (не следует путать с круговой директрисой, определенной выше).
This circle is called orthoptic or director circle of the ellipse (not to be confused with the circular directrix defined above).
Рисование эллипсов
Эллипсы в описательной геометрии возникают как изображения (параллельной или центральной проекции) окружностей. Существуют различные инструменты для построения эллипса. Компьютеры предоставляют самый быстрый и точный способ построения эллипса. Однако существуют и технические инструменты (эллипсографы), позволяющие построить эллипс без использования компьютера. Принцип действия эллипсографов был известен греческим математикам, таким как Архимед и Прокл. Если эллипсограф недоступен, эллипс можно построить приближенно, используя четыре круга, касающиеся эллипса в его вершинах. Для любого из описанных ниже методов необходимо знание осей и полуосей (или, что эквивалентно, фокусов и большой полуоси). Если это условие не выполнено, необходимо знать хотя бы два сопряженных диаметра. С помощью построения Ритца можно определить оси и полуоси.
Точечная конструкция де Ла Хайра
Следующее построение отдельных точек эллипса принадлежит де Ла Иру. Оно основано на стандартном параметрическом представлении эллипса: постройте два круга с центром в центре эллипса и радиусами, равными длинам его осей. Проведите линию через центр, которая пересекает эти два круга в точках P и Q соответственно. Проведите линию через точку P, параллельную малой оси эллипса, и линию через точку Q, параллельную большой оси эллипса. Эти линии пересекутся в точке на эллипсе (см. диаграмму). Повторите шаги 2 и 3, проводя различные линии через центр.
Draw the two circles centered at the center of the ellipse with radii and the axes of the ellipse. Draw a line through the center, which intersects the two circles at point and , respectively. Draw a line through that is parallel to the minor axis and a line through that is parallel to the major axis. These lines meet at an ellipse point (see diagram). Repeat steps (2) and (3) with different lines through the center.
Метод "пины и струны"
Характеризация эллипса как геометрического места точек, сумма расстояний от которых до фокусов постоянна, приводит к методу его построения с помощью двух булавок, отрезка веревки и карандаша. В этом методе булавки втыкаются в бумагу в двух точках, которые становятся фокусами эллипса. К каждой булавке привязывается конец веревки; ее длина после привязывания равна… Кончик карандаша, перемещаемый при натянутой веревке, описывает эллипс. Садоводы используют аналогичную процедуру с двумя кольями и веревкой для очерчивания эллиптической клумбы, поэтому ее и называют «эллипсом садовода». Ирландский епископ Чарльз Грейвс разработал схожий метод построения конфокальных эллипсов с использованием замкнутой веревки.
Как гипотрохоидный
Эллипс является частным случаем гипотрохоиды, когда , как показано на смежном изображении. Частный случай движущегося круга радиуса внутри круга радиуса называется парой Туси.
Эллиптические отражатели и акустика
Если поверхность воды нарушена в одном фокусе эллиптического резервуара, круговые волны этого возмущения, после отражения от стенок, сходятся одновременно в одной точке: во втором фокусе. Это происходит потому, что полная длина пути одинакова для любого луча, отражающегося от стенок между двумя фокусами. Аналогично, если источник света помещен в один из фокусов эллиптического зеркала, все световые лучи, лежащие в плоскости эллипса, отражаются во второй фокус. Поскольку ни одна другая гладкая кривая не обладает таким свойством, оно может служить альтернативным определением эллипса. (В частном случае круга с источником в его центре весь свет будет отражаться обратно в центр.) Если эллипс вращается вокруг своей главной оси, образуя эллипсоидальное зеркало (в частности, вытянутый сфероид), это свойство сохраняется для всех лучей, исходящих из источника. В качестве альтернативы, цилиндрическое зеркало с эллиптическим поперечным сечением можно использовать для фокусировки света от линейной люминесцентной лампы вдоль линии на плоскости; такие зеркала применяются в некоторых сканерах документов. Звуковые волны отражаются аналогичным образом, поэтому в большом эллиптическом помещении человек, стоящий в одном фокусе, может отчетливо слышать человека, стоящего в другом фокусе. Эффект становится еще более заметным под сводчатой крышей, имеющей форму части вытянутого сфероида. Такое помещение называют "комнатой шепотов". Тот же эффект можно продемонстрировать с помощью двух отражателей, имеющих форму торцевых поверхностей такого сфероида, расположенных друг напротив друга на правильном расстоянии. Примеры включают Национальный зал статуй в Капитолии США (где, по слухам, Джон Куинси Адамс использовал это свойство для прослушивания политических разговоров); Мормонский храм на Храмовой площади в Солт-Лейк-Сити, штат Юта; экспонат, посвященный звуку, в Музее науки и промышленности в Чикаго; перед Аудиторией Феллинджера Университета Иллинойса в Урбана-Шампейн; а также в боковой камере Дворца Карла V в Альгамбре.
Гармонические осцилляторы
Общим решением для гармонического осциллятора в двух или более измерениях также является эллипс. Таковы, например, случаи с длинным маятником, свободно движущимся в двух измерениях; массой, прикрепленной к фиксированной точке идеально упругой пружиной; или любым объектом, движущимся под воздействием притягивающей силы, прямо пропорциональной его расстоянию от фиксированной точки притяжения. Однако, в отличие от кеплеровских орбит, в этих "гармонических орбитах" центр притяжения находится в геометрическом центре эллипса, и уравнения движения относительно просты.
Фазовая визуализация
В электронике относительную фазу двух синусоидальных сигналов можно сравнить, подав их на вертикальный и горизонтальный входы осциллографа. Если на экране осциллографа отображается эллипс, а не прямая линия, это означает, что сигналы сдвинуты по фазе.
Эллиптические зубчатые механизмы
Два нециркулярных зубчатых колеса с одинаковым эллиптическим профилем, каждое из которых вращается вокруг одного из фокусов и расположено под определенным углом, вращаются плавно, постоянно поддерживая контакт. В качестве альтернативы, они могут быть соединены звеновым механизмом, цепью или зубчатым ремнем, или, например, на велосипеде, основная звездочка может быть эллиптической или овальной, близкой по форме к эллипсу. Такие эллиптические передачи могут использоваться в механическом оборудовании для получения переменной угловой скорости или крутящего момента при постоянном вращении ведущего вала, или, в случае велосипеда, для обеспечения переменной скорости вращения педалей с обратно пропорциональным изменением механического преимущества. Эллиптические велосипедные звезды облегчают соскакивание цепи при переключении передач. Примером применения может служить устройство для намотки нити на коническую шпульку на прядильной машине. Шпульке требуется наматывать нить быстрее, когда она близка к вершине конуса, чем когда она близка к основанию.
Оптическая
В материале, который является оптически анизотропным (двулучепреломляющим), показатель преломления зависит от направления света. Эта зависимость может быть описана эллипсоидом показателей преломления. (Если материал оптически изотропный, этот эллипсоид представляет собой сферу.) В твердотельных лазерах с ламповой накачкой использовались эллиптические цилиндрические отражатели для направления света от лампы накачки (коаксиальной с одной из фокальных осей эллипса) к стержню активной среды (коаксиальной со второй фокальной осью). В лазерных плазменных источниках EUV, применяемых в микрочиповой литографии, EUV-излучение генерируется плазмой, расположенной в первичном фокусе эллипсоидального зеркала, и собирается во вторичном фокусе на входе литографической установки.
Статистика и финансы
В статистике, бивариантный случайный вектор называется совместно эллиптически распределённым, если его изоплотности – линии равных значений функции плотности – являются эллипсами. Это понятие обобщается на случай произвольного числа элементов случайного вектора, при этом изоплотности в общем случае представляют собой эллипсоиды. Частным случаем является многомерное нормальное распределение. Эллиптические распределения важны в финансах, поскольку, если доходности активов совместно эллиптически распределены, то все портфели могут быть полностью охарактеризованы своим средним значением и дисперсией – то есть любые два портфеля с одинаковым средним значением и дисперсией доходности имеют одинаковое распределение доходности.
Теория оптимизации
Иногда бывает полезно найти минимальный ограничивающий эллипс для набора точек. Метод эллипсоидов достаточно эффективен для решения этой задачи.