Кіріспе

Математикада жалпы полиномиал дегеніміз, әдетте, коэффициенттері анықталмаған полиномиалды білдіреді. Мысалы, егер a, b және c анықталмаған болса, x-тегі екінші дәрежелі жалпы полиномиал келесідей болады.

Дегенмен, Галуа теориясында, алгебраның бір саласы, және осы мақалада, жалпы полиномиал термині басқа, бірақ байланысты мағынаға ие: шекті топ G және F өрісі үшін жалпы полиномиал – бұл F өрісіндегі n анықталмағанға (t1, …, tn) қатысты рационалдық функциялар өрісі L = F(t1, …, tn) коэффициенттері бар, бас коэффициенті 1-ге тең P полиномиалы. Мұнда P полиномиалының M бөліну өрісі L өрісінде G Галуа тобына ие, және G Галуа тобымен кез келген K/F кеңейтімі, P полиномиалының F өрісінің n элементтеріне n анықталмағанды орнату арқылы алынған мамандану нәтижесіндегі полиномиалдың бөліну өрісі ретінде алынуы мүмкін. Бұл кейде F-қа қатысты жалпы полиномиал деп аталады; рационал сандарға қатысты жалпы полиномиал, яғни Q жалпы полиномиалы, жай ғана жалпы полиномиал деп аталады. Белгілі бір Галуа тобы үшін жалпы полиномиалдың болуы, әсіресе оның құрылысы, сол топ үшін кері Галуа мәселесінің толық шешімін ұсынады. Алайда, барлық Галуа топтарының жалпы полиномиалдары бар емес, мысалы, сегіздік циклдік топ осыған қарсы мысал болып табылады.

Жалпы көптік сандар тобы

Симметриялық топ Sn. Бұл тривиальды, өйткені

Sn үшін жалпы полиномиал болып табылады. Циклдік топтар Cn, мұндағы n сегізге бөлінбейді. Ленстра n сегізге бөлінсе, циклдік топта жалпы полиномиал болмайтынын көрсетті, ал G. W. Смит n сегізге бөлінбейтін жағдайда мұндай полиномиалды нақты құрастырады. Циклдік топтың құрылымы басқа жалпы полиномиалдар кластарына әкеледі; атап айтқанда, Dn диэдрлік тобы жалпы полиномиалға ие, егер және тек қана n сегізге бөлінбесе. Квартерниондық топ Q8. Кез келген тақ сан p үшін Хайзенберг топтары. Ауыспалы топ A4. Ауыспалы топ A5. Q-да анықталған шағылысу топтары, соның ішінде E6, E7 және E8 түбірлік жүйелерінің топтары. Екі топтың да жалпы полиномиалдары бар тікелей көбейтіндісі болатын кез келген топ. Екі топтың да жалпы полиномиалдары бар қос тобының тоқылған көбейтіндісі болатын кез келген топ.

Жарияланымдар

Дженсен, Кристиан У., Ледет, Арне және Юи, Норико, Жалпы полиномиалдар, Кембридж университетінің баспасы, 2002