Введение
В математике, общий многочлен обычно обозначает многочлен, коэффициенты которого являются неопределёнными. Однако в теории Галуа, ветви алгебры, и в данной статье, термин "генерический полином" имеет другое, хотя и связанное значение: генерический полином для конечной группы G и поля F – это моничный полином P с коэффициентами в поле рациональных функций L = F(t1, ..., tn) от n переменных над F, такой что разложимое поле M полинома P имеет группу Галуа G над L, и такое, что каждое расширение K/F с группой Галуа G может быть получено как разложимое поле полинома, являющегося специализацией P, полученной путём задания n переменных значениями из F. Это иногда называют F-генерическим или относительно поля F; Q-генерический полином, то есть генерический относительно рациональных чисел, называют просто генерическим. Существование, и особенно построение, генерического полинома для заданной группы Галуа предоставляет полное решение обратной задачи Галуа для этой группы. Однако не для всех групп Галуа существуют генерические полиномы; контрпримером является циклическая группа порядка восемь.
However in Galois theory, a branch of algebra, and in this article, the term generic polynomial has a different, although related, meaning: a generic polynomial for a finite group G and a field F is a monic polynomial P with coefficients in the field of rational functions L = F(t1, , tn) in n indeterminates over F, such that the splitting field M of P has Galois group G over L, and such that every extension K/F with Galois group G can be obtained as the splitting field of a polynomial which is the specialization of P resulting from setting the n indeterminates to n elements of F. This is sometimes called F generic or relative to the field F; a Q generic polynomial, which is generic relative to the rational numbers is called simply generic. The existence, and especially the construction, of a generic polynomial for a given Galois group provides a complete solution to the inverse Galois problem for that group. However, not all Galois groups have generic polynomials, a counterexample being the cyclic group of order eight.
Группы с общими многочленами
Симметрическая группа Sn. Это тривиально, поскольку
является общим многочленом для Sn. Циклические группы Cn, где n не делится на восемь. Ленстра показал, что циклическая группа не имеет общего многочлена, если n делится на восемь, и Г. В. Смит явно конструирует такой многочлен в случае, когда n не делится на восемь. Конструкция циклической группы приводит к другим классам общих многочленов; в частности, диэдрическая группа Dn имеет общий многочлен тогда и только тогда, когда n не делится на восемь. Кватернионная группа Q8. Группы Гейзенберга для любого нечетного простого числа p. Альтернативная группа A4. Альтернативная группа A5. Отражающие группы, определенные над Q, включая, в частности, группы корневых систем для E6, E7 и E8. Любая группа, являющаяся прямым произведением двух групп, обе из которых имеют общие многочлены. Любая группа, являющаяся венком произведения двух групп, обе из которых имеют общие многочлены.
The alternating group A4. The alternating group A5. Reflection groups defined over Q, including in particular groups of the root systems for E6, E7, and E8. Any group which is a direct product of two groups both of which have generic polynomials. Any group which is a wreath product of two groups both of which have generic polynomials.
Публикации
Дженсен, Кристиан У., Ледет, Арне и Юи, Норико, Универсальные полиномы, Издательство Кембриджского университета, 2002