Кіріспе
Математикалық логикада Морли қатары – бұл теорияның моделіндегі жиынтықтың мөлшерін өлшеу тәсілі, алгебралық геометриядағы өлшем түсінігін кеңейтеді.
Анықтама
Теорияны T модель M-ге бекітіңіз. M-нің анықталатын (параметрлермен) S ішкі жиынын анықтайтын φ формуласының Морли рангі – ординал, немесе −1, немесе ∞ болып табылады, және бұл алдымен формуланың кем дегенде α ординалы үшін Морли рангіне ие екенін рекурсивті түрде анықтау арқылы беріледі. Морли рангі кем дегенде 0-ге тең, егер S бос емес болса. α – жоғарылайтын ординал болса, Морли рангі кем дегенде α-ға тең, егер M-нің N элементарлық кеңейтілімінде S жиынында α-дан кем емес рангыға ие, саналамайтын көптеген бөлек анықталатын Si ішкі жиындары болса. α – нөлден өзгеше шекті ординал болса, Морли рангі кем дегенде α-ға тең, егер ол α-дан кіші барлық β үшін кем дегенде β-ға тең болса. Морли рангі α деп анықталады, егер ол кем дегенде α-ға тең болса, бірақ кем дегенде α+1-ге тең болмаса, және ол барлық ординалдар үшін кем дегенде α-ға тең болса ∞ деп анықталады, ал S бос болса −1 деп анықталады. M моделінің анықталатын ішкі жиыны үшін (φ формуласымен анықталған) Морли рангі – M-нің кез келген ℵ₀ қаныққан элементарлық кеңейтіліміндегі φ-нің Морли рангі деп анықталады. Атап айтқанда, ℵ₀ қаныққан модельдер үшін ішкі жиынның Морли рангі – бұл ішкі жиынды анықтайтын кез келген формуланың Морли рангі. Егер S-ні анықтайтын φ формуласы α рангіне ие болса, ал S α рангінің n < ω-дан артық емес ішкі жиындарына бөлінсе, онда φ-ның Морли дәрежесі n болады. Шекті жиынды анықтайтын формуланың Морли рангі 0-ге тең. Морли рангі 1-ге тең және Морли дәрежесі 1-ге тең формула мықты минималды деп аталады. Мықты минималды құрылым – бұл x = x тривиалды формуласы мықты минималды болатын құрылым. Морли рангі және мықты минималды құрылымдар Морлидің категориялық теоремасын дәлелдеуде және модельдік теориялық тұрақтылық теориясының кең аумағында маңызды құралдар болып табылады.
is an ordinal or −1 or ∞, defined by first recursively defining what it means for a formula to have Morley rank at least α for some ordinal α. The Morley rank is at least 0 if S is non empty. For α a successor ordinal, the Morley rank is at least α if in some elementary extension N of M, the set S has countably infinitely many disjoint definable subsets Si, each of rank at least α − 1. For α a non zero limit ordinal, the Morley rank is at least α if it is at least β for all β less than α. The Morley rank is then defined to be α if it is at least α but not at least α + 1, and is defined to be ∞ if it is at least α for all ordinals α, and is defined to be −1 if S is empty. For a definable subset of a model M (defined by a formula φ) the Morley rank is defined to be the Morley rank of φ in any ℵ0 saturated elementary extension of M. In particular for ℵ0 saturated models the Morley rank of a subset is the Morley rank of any formula defining the subset. If φ defining S has rank α, and S breaks up into no more than n < ω subsets of rank α, then φ is said to have Morley degree n. A formula defining a finite set has Morley rank 0. A formula with Morley rank 1 and Morley degree 1 is called strongly minimal. A strongly minimal structure is one where the trivial formula x = x is strongly minimal. Morley rank and strongly minimal structures are key tools in the proof of Morley's categoricity theorem and in the larger area of model theoretic stability theory.
Мысалдар
Бос жиынның Морли рангі -1-ге тең, ал керісінше, Морли рангі -1-ге тең кез келген нәрсе бос. Ішкі жиынның Морли рангі 0-ге тең, егер ол шекті және бос емес болса. Егер V – алгебралық жабық K өрісіндегі Kn-дегі алгебралық жиын болса, онда V-дің Морли рангі оның әдеттегі Крулл өлшемімен бірдей. V-дің Морли дәрежесі – максималды өлшемді азайтылмас компоненттердің саны; бұл алгебралық геометриядағы дәрежесімен бірдей емес, тек оның максималды өлшемді компоненттері сызықтық кеңістіктер болған жағдайда ғана. Реттелген жиын ретінде қарастырылған рационалдық сандар Морли рангі ∞-ге ие, себебі ол өзімен изоморфты анықталатын кіші жиындықтардың санаулы ажыратылған бірігімін қамтиды.