Введение
В математической логике ранг Морли, введенный Майклом Морли, является способом измерения размера подмножества модели теории, обобщая понятие размерности в алгебраической геометрии.
Определение
Определить теорию T с моделью M. Ранг Морли формулы φ, определяющей определяемое (с параметрами) подмножество S модели M, является ординалом, −1 или ∞, определяемым путем рекурсивного определения того, что значит для формулы иметь ранг Морли не меньше α для некоторого ординала α. Ранг Морли не меньше 0, если S не пусто. Для α – ординала-последователя, ранг Морли не меньше α, если в некотором элементарном расширении N модели M множество S имеет счетно бесконечно много непересекающихся определяемых подмножеств Si, каждое из которых имеет ранг не меньше α − 1. Для α – ненулевого ординала-предела, ранг Морли не меньше α, если он не меньше β для всех β, меньших α. Затем ранг Морли определяется как α, если он не меньше α, но не не меньше α + 1, и определяется как ∞, если он не меньше α для всех ординалов α, и определяется как −1, если S пусто. Для определяемого подмножества модели M (определенного формулой φ), ранг Морли определяется как ранг Морли φ в любом א₀-насыщенном элементарном расширении M. В частности, для א₀-насыщенных моделей, ранг Морли подмножества равен рангу Морли любой формулы, определяющей это подмножество. Если φ, определяющая S, имеет ранг α, и S распадается не более чем на n < ω подмножеств ранга α, то φ имеет степень Морли n. Формула, определяющая конечное множество, имеет ранг Морли 0. Формула с рангом Морли 1 и степенью Морли 1 называется сильно минимальной. Сильно минимальная структура – это структура, в которой тривиальная формула x = x является сильно минимальной. Ранги Морли и сильно минимальные структуры являются ключевыми инструментами в доказательстве теоремы категоричности Морли и в более широкой области теории моделирования стабильности.
is an ordinal or −1 or ∞, defined by first recursively defining what it means for a formula to have Morley rank at least α for some ordinal α. The Morley rank is at least 0 if S is non empty. For α a successor ordinal, the Morley rank is at least α if in some elementary extension N of M, the set S has countably infinitely many disjoint definable subsets Si, each of rank at least α − 1. For α a non zero limit ordinal, the Morley rank is at least α if it is at least β for all β less than α. The Morley rank is then defined to be α if it is at least α but not at least α + 1, and is defined to be ∞ if it is at least α for all ordinals α, and is defined to be −1 if S is empty. For a definable subset of a model M (defined by a formula φ) the Morley rank is defined to be the Morley rank of φ in any ℵ0 saturated elementary extension of M. In particular for ℵ0 saturated models the Morley rank of a subset is the Morley rank of any formula defining the subset. If φ defining S has rank α, and S breaks up into no more than n < ω subsets of rank α, then φ is said to have Morley degree n. A formula defining a finite set has Morley rank 0. A formula with Morley rank 1 and Morley degree 1 is called strongly minimal. A strongly minimal structure is one where the trivial formula x = x is strongly minimal. Morley rank and strongly minimal structures are key tools in the proof of Morley's categoricity theorem and in the larger area of model theoretic stability theory.
Примеры
Пустое множество имеет ранг Морли −1, и наоборот, всё, что имеет ранг Морли −1, является пустым. Подмножество имеет ранг Морли 0 тогда и только тогда, когда оно конечно и непусто. Если V — алгебраическое множество в Kn, для алгебраически замкнутого поля K, то ранг Морли V совпадает с его обычным измерением Крулля. Рациональные числа, рассматриваемые как упорядоченное множество, имеют ранг Морли ∞, так как содержат счетное непересекающееся объединение определяемых подмножеств, изоморфных самому себе. Степень Морли V — это число неразложимых компонентов максимальной размерности; это не то же самое, что его степень в алгебраической геометрии, за исключением случаев, когда его компоненты максимальной размерности являются линейными пространствами.