Кіріспе
Функцияның туындыларының саны (математика)
Сандар теориясындағы тегістеу
Математикалық талдауда функцияның тегістеулігі – оның доменіндегі үздіксіз туындыларының санымен өлшенетін қасиет, бұл сан дифференциалдау класы деп аталады. k класты функция – кем дегенде k деңгейінде тегіс функция; яғни, k класты функция – оның доменінде үздіксіз болатын k-шы туындысы бар функция. немесе функция (шексіз C функциясы деп айтылады) – шексіз дифференциалданатын функция, яғни барлық реттегі туындылары бар функция (бұл барлық туындылары үздіксіз екенін білдіреді). Жалпы, тегіс функция термині функцияны білдіреді. Дегенмен, ол қарастырылып отырған мәселе үшін «жеткілікті дифференциалданатын» дегенді де білдіруі мүмкін.
Айырмалану сыныптары
Дифференциалданушылық класы – функциялардың туындыларының қасиеттеріне сәйкес жіктелуі. Бұл функцияның үздіксіз болатын ең жоғары ретті туындысының өлшемі. Нақты сандар осындағы ашық жиынтық пен нақты мәнді функция қарастырылсын. k – теріс емес бүтін сан болсын. Егер функцияның туындылары бар болса және олар үздіксіз болса, онда функция дифференциалданушылық класына жатады. Егер функция дифференциалданушы болса, онда ол кем дегенде класына жатады, себебі туындылары үздіксіз. Функция шексіз дифференциалданушы, тегіс немесе классқа жатады, егер ол барлық реттерде туындыларға ие болса. Тегіс, бірақ аналитикалық емес функциялар бар; сондықтан, bump функциялары осы қасиетке ие функциялардың мысалы болып табылады. Басқаша айтқанда, класс барлық үздіксіз функциялардан тұрады. класс барлық дифференциалданатын функциялардан тұрады, олардың туындысы үздіксіз; мұндай функциялар үздіксіз дифференциалданатын деп аталады. Осылайша, функцияның туындысы бар және классқа жататын функцияны анықтайды. Жалпы, кластарды рекурсивті түрде анықтауға болады: класс – барлық үздіксіз функциялар жиыны, ал кез келген оң бүтін сан үшін – туындысы классқа жататын барлық дифференциалданатын функциялар жиыны. Әсіресе, әрбір үшін класс қамтылған және бұл қамтылудың қатаң екенін көрсететін мысалдар бар. Шексіз дифференциалданатын функциялардың классы, класс ретінде, теріс емес бүтін сандар бойынша өзгеретін кластардың қиылысы болып табылады.
Мысал: Аналитикалық (С)
Экспоненциалдық функция аналитикалық болып табылады, сондықтан Cω класына жатады. Тригонометриялық функциялар да олар анықталған жерде аналитикалық болып табылады, себебі олар кешенді экспоненциалдық функциялардың е және -е сызықтық комбинациялары болып табылады.
Ck функцияларының кеңістігі
Келсін, нақты түзудің ашық ішкі жиыны болсын. -де анықталған барлық нақты мәнді функциялар жиыны – Фреше векторлық кеңістігі, саналатын семинормалар отбасымен:
мұнда , компакт жиындардың өсу тізбегі бойынша өзгереді, олардың бірігуі -ке тең, ал функциялар жиыны да Фреше кеңістігін құрайды. Жоғарыдағыдай семинармалар қолданылады, бірақ -ге барлық теріс емес бүтін сандар мәндеріне ие болуға рұқсат етіледі. Аталған кеңістіктер белгілі бір ретті туындылары бар функциялар қажет болатын қолдануларда табиғи түрде пайда болады; алайда, әсіресе дербес дифференциалдық теңдеулерді зерттеуде, кейде Соболев кеңістіктерімен жұмыс істеу тиімдірек болуы мүмкін.
The set of functions over also forms a Fréchet space. One uses the same seminorms as above, except that is allowed to range over all non negative integer values. The above spaces occur naturally in applications where functions having derivatives of certain orders are necessary; however, particularly in the study of partial differential equations, it can sometimes be more fruitful to work instead with the Sobolev spaces.
Жалғастығы
Параметрлік үздіксіздік (Ck) және геометриялық үздіксіздік (Gn) терминдерін Брайан Барски қисықтың тегістігін, параметр қисық бойымен қандай жылдамдықпен өтетініне шектеулер қоймай өлшеуге болатынын көрсету үшін енгізді.
Параметрлік сабақтастық
Параметрлік сабақтастық (Ck) – параметрлік қисықтарға қолданылатын ұғым, ол қисық бойымен қашықтыққа байланысты параметр мәнінің тегістігін сипаттайды. (Параметриялық) қисық Ck класына жатады, егер ол бар болып, үздіксіз болса , мұнда соңғы нүктелердегі туындылар бір жақты туындылар ретінде қарастырылады ( оң жақтан және сол жақтан). Бұл ұғымды практикалық қолдану ретінде, уақыт параметрімен қозғалатын объектінің қисығы C1 сабақтастығына ие болуы керек, ал оның бірінші туындысы шекті үдеуге ие болу үшін дифференциалдануы тиіс. Камераның фильм түсіру кезіндегі жолы сияқты, тегіс қозғалыс үшін параметрлік сабақтастықтың жоғары дәрежесі қажет.
Талдау қабілетімен байланысы
Барлық аналитикалық функциялар "тегіс" (яғни барлық туындылары үздіксіз) болып табылады, бірақ нақты сандардағы функциялар үшін керісінше дұрыс емес, мысалы, соққы функциялары (жоғарыда айтылған) көрсетіп тұр. Аналитикалық емес тегіс нақты функциялар бар. Фурье қатарлары арқылы кез келген нүктеде аналитикалық емес тегіс функциялардың қарапайым мысалдарын жасауға болады; тағы бір мысал – Фабиус функциясы. Мұндай функциялар ережеден шығу ретінде көрінсе де, аналитикалық функциялар тегіс функциялар арасында өте сиреп орналасқаны анықталды; дәлірек айтқанда, аналитикалық функциялар тегіс функциялардың кішігірім жиынтығын құрайды. Сонымен қатар, нақты түзудің кез келген ашық A ішкі жиыны үшін, A-да ғана аналитикалық болатын тегіс функциялар бар. Бұл жағдайды нақты түзудегі трансценденттік сандардың кең таралғандығымен салыстыру пайдалы. Нақты түзуде де, тегіс функциялар жиынында да, біз алғашқы ойда келтіретін мысалдар (алгебралық/рационалдық сандар және аналитикалық функциялар) көптеген жағдайларға қарағанда жақсырақ қасиеттерге ие: трансценденттік сандар мен еш жерде аналитикалық емес функциялар толық өлшемге ие (олардың толықтырғыштары кішігірім). Осылайша сипатталған жағдай күрделі дифференциалданатын функциялармен күрт контрастқа түседі. Егер күрделі функция ашық жиынтықта бір рет дифференциалданатын болса, онда ол сол жиынтықта шексіз дифференциалданатын және аналитикалық болады.
It is useful to compare the situation to that of the ubiquity of transcendental numbers on the real line. Both on the real line and the set of smooth functions, the examples we come up with at first thought (algebraic/rational numbers and analytic functions) are far better behaved than the majority of cases: the transcendental numbers and nowhere analytic functions have full measure (their complements are meagre). The situation thus described is in marked contrast to complex differentiable functions. If a complex function is differentiable just once on an open set, it is both infinitely differentiable and analytic on that set .
Бірліктің тегіс бөліктері
Берілген жабық қолдауға ие тегіс функциялар бірліктің тегіс бөліктерін құрастыру үшін қолданылады (бірліктің бөлігі және топология сөздігіне қараңыз); олар тегіс көптүрліліктерді зерттеуде маңызды рөл атқарады, мысалы, Риманн метрикаларының жергілікті түрде болуынан бастап, оларды жаһандық деңгейде анықтауға болатындығын көрсету үшін. Оңай жағдай – нақты түзудегі «дөңгелек» функциясы, яғни [a, b] аралығының сыртында 0 мәнін қабылдайтын және сондай тегіс функция f. Егер түзуде бір-бірімен жапсарлас аралықтар берілсе, әрқайсысы үшін және жартылай шексіз аралықтарда «дөңгелек» функциялар құрастырылуы мүмкін, бұл бүкіл түзуді қамтиды, сонда функциялардың қосындысы әрқашан 1-ге тең болады. Бұл тұрғысынан қарағанда, бірліктің бөліктері голоморфтық функцияларға қолданылмайды; олардың болуға және аналитикалық жалғастыруға қатысты ерекше мінез-құлқы – шоғыр теориясының бастауларының бірі. Ал тегіс функциялардың шоғырлары көбінесе көп топологиялық ақпаратты камти алмайды.
Given a number of overlapping intervals on the line, bump functions can be constructed on each of them, and on semi infinite intervals and to cover the whole line, such that the sum of the functions is always 1. From what has just been said, partitions of unity do not apply to holomorphic functions; their different behavior relative to existence and analytic continuation is one of the roots of sheaf theory. In contrast, sheaves of smooth functions tend not to carry much topological information.
Түрлі топтардың қосалқы жиынтықтары арасындағы тегіс функциялар
Көптүрліліктердің кез келген кіші жиындары үшін тегіс бейнелеу (карта) туралы сәйкес түсінік бар. Егер – функция болса, оның анықталу облысы және мәндер жиыны тиісінше және көптүрліліктерінің кіші жиындары болса, онда функциясы кез келген үшін ашық жиыны бар болғанда және үшін тегіс функциясы бар болғанда тегіс деп аталады.