Введение

Число производных функции (математика)

гладкость в теории чисел

В математическом анализе гладкость функции — это свойство, измеряемое числом, называемым классом дифференцируемости, непрерывных производных, которые она имеет на своей области определения. Функция класса *k* — это функция, имеющая гладкость не менее *k*; то есть функция класса *k* — это функция, у которой *k*-я производная непрерывна на своей области определения. Функция класса *C<sup>∞</sup>* или бесконечно гладкая функция (произносится как "си-бесконечность") — это бесконечно дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая производные всех порядков (это подразумевает, что все эти производные непрерывны). В общем случае термин "гладкая функция" относится к функции класса *C<sup>∞</sup>*. Однако он может также означать "достаточно дифференцируемую" для рассматриваемой задачи.

Классы дифференцируемости

Класс дифференцируемости – это классификация функций в соответствии со свойствами их производных. Это мера наивысшего порядка производной, которая существует и непрерывна для данной функции. Рассмотрим открытое множество на вещественной прямой и функцию, определенную на этом множестве со значениями в вещественных числах. Пусть k – неотрицательное целое число. Функция называется дифференцируемой класса k, если ее производные порядка до k существуют и непрерывны на . Если функция дифференцируема на , то она принадлежит, по крайней мере, классу , поскольку производные порядка до k непрерывны на . Функция называется бесконечно дифференцируемой, гладкой или принадлежащей классу , если она имеет производные всех порядков на (то есть все эти производные являются непрерывными функциями на ). Функция называется принадлежащей классу или аналитической, если она гладкая (то есть принадлежит классу ) и ее разложение в ряд Тейлора в окрестности любой точки из области определения сходится к функции в некоторой окрестности этой точки. Существуют функции, которые гладкие, но не аналитические; таким образом, класс строго содержится в классе . Функции типа bump (сглаженные функции) являются примерами функций с таким свойством. Иными словами, класс состоит из всех непрерывных функций. Класс состоит из всех дифференцируемых функций, производная которых непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемыми. Таким образом, функция класса – это функция, производная которой существует и принадлежит классу . В общем случае, классы можно определить рекурсивно, объявив , что является множеством всех непрерывных функций, и объявив, что для любого положительного целого числа является множеством всех дифференцируемых функций, производная которых принадлежит . В частности, содержится в для каждого , и существуют примеры, показывающие, что это включение строгое. Класс бесконечно дифференцируемых функций – это пересечение классов при изменении k по всем неотрицательным целым числам.

Пример: Аналитический (C)

Экспоненциальная функция аналитична и, следовательно, принадлежит классу Cω. Тригонометрические функции также аналитичны везде, где они определены, поскольку они являются линейными комбинациями комплексных экспоненциальных функций e^ix и e^-ix.

Пространство функций Ck

Пусть – открытое подмножество вещественной прямой. Множество всех вещественнозначных функций, определенных на , является пространством Фреше, снабженным счетным семейством полунорм

где проходит по возрастающей последовательности компактных множеств, объединение которых равно , а множество функций также образует пространство Фреше. Используются те же полунормы, что и выше, за исключением того, что может принимать любые неотрицательные целые значения. Указанные пространства естественным образом возникают в задачах, где требуются функции, имеющие производные определенных порядков; однако, особенно при изучении уравнений в частных производных, иногда более эффективно работать с пространствами Соболева.

Непрерывность

Термины параметрическая непрерывность (Ck) и геометрическая непрерывность (Gn) были введены Брайаном Барски, чтобы показать, что гладкость кривой можно измерить, ослабив ограничения на скорость, с которой параметр обходит кривую.

Параметрическая непрерывность

Параметрическая непрерывность (Ck) — это концепция, применяемая к параметрическим кривым, описывающая гладкость изменения параметра вдоль кривой. Параметрическая кривая считается принадлежащей классу Ck, если её производные существуют и непрерывны на заданном интервале, при этом производные в конечных точках интервала рассматриваются как односторонние (справа в точке начала и слева в точке конца). Как практическое применение этой концепции, кривая, описывающая движение объекта, параметризованного временем, должна обладать непрерывностью C1, а её первая производная должна быть дифференцируемой, чтобы объект имел конечное ускорение. Для более плавного движения, например, траектории камеры при съёмке фильма, требуются более высокие порядки параметрической непрерывности.

Отношение к аналитичности

В то время как все аналитические функции "гладкие" (то есть имеют все непрерывные производные) на множестве, где они аналитичны, примеры, такие как функции с "выпуклостью" (упомянутые выше), показывают, что обратное неверно для функций на действительных числах: существуют гладкие вещественные функции, которые не являются аналитическими. Простые примеры функций, которые гладкие, но не аналитические ни в одной точке, можно построить с помощью рядов Фурье; другим примером является функция Фабиуса. Хотя может показаться, что такие функции – скорее исключение, чем правило, оказывается, что аналитические функции очень редко встречаются среди гладких; более строго говоря, аналитические функции образуют скудное подмножество гладких функций. Более того, для любого открытого подмножества A на действительной прямой существуют гладкие функции, которые аналитичны на A и нигде более. Полезно сравнить эту ситуацию с повсеместностью трансцендентных чисел на действительной прямой. Как на действительной прямой, так и в множестве гладких функций, первые примеры, которые приходят в голову (алгебраические/рациональные числа и аналитические функции), ведут себя гораздо лучше, чем в большинстве случаев: трансцендентные числа и функции, нигде не являющиеся аналитическими, обладают полной мерой (их дополнения – скудные множества). Описанная таким образом ситуация резко контрастирует со случаем комплексно дифференцируемых функций. Если комплексная функция дифференцируема хотя бы один раз на открытом множестве, то она является как бесконечно дифференцируемой, так и аналитической на этом множестве.

Гладкие перегородки единства

Гладкие функции с заданной замкнутой поддержкой используются при построении гладких разбиений единства (см. глоссарий "Разбиение единства и топология"); они необходимы при изучении гладких многообразий, например, для доказательства того, что римановы метрики могут быть определены глобально, исходя из их локального существования. Простым примером является функция "bump" на вещественной прямой, то есть гладкая функция f, принимающая значение 0 вне интервала [a, b] и такая, что

При заданном наборе перекрывающихся интервалов на прямой, функции "bump" могут быть построены на каждом из них, а также на полубесконечных интервалах и , чтобы покрыть всю прямую, при этом сумма функций всегда равна 1. Из вышесказанного следует, что разбиения единства неприменимы к голоморфным функциям; их иное поведение в отношении существования и аналитического продолжения является одним из источников теории пучков. В отличие от этого, пучки гладких функций, как правило, не несут в себе значимой топологической информации.

Гладкие функции между подмножествами коллекторов

Существует соответствующее понятие гладкого отображения для произвольных подмножеств многообразий. Если f – функция, область определения и область значений которой являются подмножествами многообразий M и N соответственно, то f называется гладким, если для каждой точки p из области определения существует открытое множество U, содержащее p, и гладкая функция φ: U → N такая, что f(x) = φ(x) для всех x ∈ U.