Кіріспе
Функционалдық теңдеу түрі (математика)
Математикада дифференциалдық теңдеу – бір немесе бірнеше белгісіз функциялар мен олардың туындыларын байланыстыратын теңдеу. Қолданыста функциялар көбінесе физикалық шамаларды көрсетеді, туындылары олардың өзгеру жылдамдығын көрсетеді, ал дифференциалдық теңдеу осы екеуі арасындағы қатынасты анықтайды. Мұндай қатынастар жиі кездеседі, сондықтан дифференциалдық теңдеулер инженерлік, физикалық, экономикалық және биология сияқты көптеген салаларда маңызды рөл атқарады. Дифференциалдық теңдеулерді зерттеудің негізгі мақсаты – олардың шешімдерін (әр теңдеуді қанағаттандыратын функциялар жиынтығы) және осы шешімдердің қасиеттерін зерттеу болып табылады. Тек ең қарапайым дифференциалдық теңдеулер ғана нақты формулалармен шешіледі. Дегенмен, берілген дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің көптеген қасиеттерін оларды дәл есептемей-ақ анықтауға болады. Көбінесе шешімдерге жабық түрдегі өрнектер қолжетімді болмаған жағдайда, компьютерлерді пайдаланып сандық түрде жуықтауға болады. Динамикалық жүйелер теориясы дифференциалдық теңдеулермен сипатталған жүйелердің сапалық талдауына ерекше мән береді, ал шешімдерді белгілі бір дәлдікпен анықтау үшін көптеген сандық әдістер әзірленген.
Тарих
Дифференциалдық теңдеулер Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбництің есептеуді (калькульсті) ойлап табуымен пайда болды. 1671 жылы жарық көрген Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum еңбегінің 2-тарауында Ньютон дифференциалдық теңдеулердің үш түрін тізімдеген:
In all these cases, y is an unknown function of x (or of x1 and x2), and f is a given function. He solves these examples and others using infinite series and discusses the non uniqueness of solutions. Jacob Bernoulli proposed the Bernoulli differential equation in 1695. This is an ordinary differential equation of the form
for which the following year Leibniz obtained solutions by simplifying it. Historically, the problem of a vibrating string such as that of a musical instrument was studied by Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, and Joseph Louis Lagrange. In 1746, d’Alembert discovered the one dimensional wave equation, and within ten years Euler discovered the three dimensional wave equation. The Euler–Lagrange equation was developed in the 1750s by Euler and Lagrange in connection with their studies of the tautochrone problem. This is the problem of determining a curve on which a weighted particle will fall to a fixed point in a fixed amount of time, independent of the starting point. Lagrange solved this problem in 1755 and sent the solution to Euler. Both further developed Lagrange's method and applied it to mechanics, which led to the formulation of Lagrangian mechanics. In 1822, Fourier published his work on heat flow in Théorie analytique de la chaleur (The Analytic Theory of Heat), in which he based his reasoning on Newton's law of cooling, namely, that the flow of heat between two adjacent molecules is proportional to the extremely small difference of their temperatures. Contained in this book was Fourier's proposal of his heat equation for conductive diffusion of heat. This partial differential equation is now a common part of mathematical physics curriculum.
Барлық осы жағдайларда y – x-тің (немесе x1 және x2-нің) белгісіз функциясы, ал f – берілген функция. Ол осы және басқа да мысалдарды шексіз қатарлар арқылы шешеді және шешімдердің бірегей болмауын талқылайды. Якоб Бернулли 1695 жылы Бернулли дифференциалдық теңдеуін ұсынды. Бұл – Лейбництің келесі жылы оны жеңілдету арқылы шешімін тапқан қалыпты дифференциалдық теңдеу. Тарихи тұрғыдан алғанда, музыкалық аспаптардағыдай тербелісті сым мәселесін Жан Ле Ронд д’Алембер, Леонард Эйлер, Даниэль Бернулли және Жозеф Луи Лагранж зерттеді. 1746 жылы д’Алембер бір өлшемді толқын теңдеуін, ал он жыл ішінде Эйлер үш өлшемді толқын теңдеуін ашты. Эйлер-Лагранж теңдеуі 1750 жылдары Эйлер мен Лагранж тараптардың изохрондығы (таутохрондық) мәселесін зерттеу барысында жасалды. Бұл – салмақты бөлшектің бастапқы нүктеге қарамастан, белгілі бір уақыт ішінде белгілі бір нүктеге түсетін қисықты анықтау мәселесі. Лагранж 1755 жылы бұл мәселені шешіп, шешімін Эйлерге жіберді. Екеуі де Лагранж әдісін одан әрі дамытып, оны механикаға қолданды, нәтижесінде Лагранж механикасы қалыптасты. 1822 жылы Фурье жылу ағыны туралы жұмысын Théorie analytique de la chaleur (Жылудың аналитикалық теориясы) деген атпен жариялады, онда ол өз ойларын Ньютонның салқындату заңына негіздеді, атап айтқанда, екі жақын молекула арасындағы жылу ағыны олардың температурасының өте шағын айырмасына пропорционалды. Осы кітапта Фурье өткізгіштік арқылы жылу таралуы үшін жылу теңдеуін ұсынды. Бұл бөлшектік дифференциалдық теңдеу қазір математикалық физиканың стандартты оқу бағдарламасының бір бөлігі болып табылады.
In all these cases, y is an unknown function of x (or of x1 and x2), and f is a given function. He solves these examples and others using infinite series and discusses the non uniqueness of solutions. Jacob Bernoulli proposed the Bernoulli differential equation in 1695. This is an ordinary differential equation of the form
for which the following year Leibniz obtained solutions by simplifying it. Historically, the problem of a vibrating string such as that of a musical instrument was studied by Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, and Joseph Louis Lagrange. In 1746, d’Alembert discovered the one dimensional wave equation, and within ten years Euler discovered the three dimensional wave equation. The Euler–Lagrange equation was developed in the 1750s by Euler and Lagrange in connection with their studies of the tautochrone problem. This is the problem of determining a curve on which a weighted particle will fall to a fixed point in a fixed amount of time, independent of the starting point. Lagrange solved this problem in 1755 and sent the solution to Euler. Both further developed Lagrange's method and applied it to mechanics, which led to the formulation of Lagrangian mechanics. In 1822, Fourier published his work on heat flow in Théorie analytique de la chaleur (The Analytic Theory of Heat), in which he based his reasoning on Newton's law of cooling, namely, that the flow of heat between two adjacent molecules is proportional to the extremely small difference of their temperatures. Contained in this book was Fourier's proposal of his heat equation for conductive diffusion of heat. This partial differential equation is now a common part of mathematical physics curriculum.
Мысал
Классикалық механикада дененің қозғалысы оның орны мен жылдамдығы уақыт өзгерген сайын сипатталады. Ньютон заңдары осы айнымалыларды динамикалық түрде (денеге әсер ететін орын, жылдамдық, үдеу және түрлі күштерді ескере отырып) дененің белгісіз орны үшін уақыт функциясы түрінде дифференциалдық теңдеу ретінде беруге мүмкіндік береді. Кейбір жағдайларда бұл дифференциалдық теңдеу (қозғалыс теңдеуі деп аталады) аналитикалық түрде шешілуі мүмкін. Дифференциалдық теңдеулерді қолданып, нақты әлемдегі проблеманы модельдеудің мысалы – гравитация және ауа кедергісін ғана ескере отырып, ауаға түсетін доптың жылдамдығын анықтау. Доптың жерге қарайғы үдеуі – ауырлық күшінен туындаған үдеуден ауа кедергісінен туындаған тежелуді алып тастау болып табылады. Гравитация тұрақты деп есептеледі, ал ауа кедергісі доптың жылдамдығына пропорционалды түрде модельделуі мүмкін. Бұл доптың үдеуі, оның жылдамдығының туындысы, жылдамдыққа (ал жылдамдық уақытқа) тәуелді дегенді білдіреді. Жылдамдықты уақыт функциясы ретінде табу үшін дифференциалдық теңдеуді шешіп, оның жарамдылығын тексеру қажет.
Түрлері
Дифференциалдық теңдеулерді бірнеше түрге бөлуге болады. Бұл дифференциалдық теңдеулердің түрлері теңдеудің өзінің қасиеттерін сипаттаудан басқа, оны шешуге қатысты таңдау жасауға көмектеседі. Көбінесе қолданылатын ерекшеліктерге теңдеудің қалыпты немесе ішінара, сызықтық немесе сызықтық емес, біртекті немесе біртекті емес болуы жатады. Бұл тізім толық емес; нақты жағдайларда өте пайдалы болатын дифференциалдық теңдеулердің тағы да көп қасиеттері мен кіші түрлері бар.
Кәдімгі дифференциалдық теңдеулер
Кәдімгі дифференциалдық теңдеу (КДТ) – бір нақты немесе кешенді айнымалы x-тің белгісіз функциясы, оның туындылары және x-тің берілген кейбір функцияларын қамтитын теңдеу. Белгісіз функция көбінесе x-ке тәуелді болатын айнымалымен (әдетте y деп белгіленеді) көрсетіледі. Сондықтан x көбінесе теңдеудің тәуелсіз айнымалысы деп аталады. "Кәдімгі" термині бірнеше тәуелсіз айнымалыға қатысты болатын ішінара дифференциалдық теңдеулермен салыстырылады. Сызықтық дифференциалдық теңдеулер – белгісіз функция және оның туындылары бойынша сызықты болатын теңдеулер. Олардың теориясы жақсы дамыған, және көп жағдайда олардың шешімдерін интегралдар арқылы өрнектеуге болады. Физикада кездесетін КДТ-лердің көпшілігі сызықтық болып табылады. Сондықтан, көптеген арнайы функцияларды сызықтық дифференциалдық теңдеулердің шешімдері ретінде анықтауға болады (холономиялық функцияға қараңыз). Дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін жабық түрде өрнектеу мүмкін болмағандықтан, компьютерде дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін сандық әдістер жиі қолданылады.
Қиссалық дифференциалдық теңдеулер
Ішінара дифференциалдық теңдеу (ИДТ) – белгісіз көп айнымалы функциялар мен олардың ішінара туындыларын қамтитын дифференциалдық теңдеу. (Бұл бір ғана айнымалының функциялары мен олардың туындыларын зерттейтін қалыпты дифференциалдық теңдеулерден өзгеше.) ИДТ бірнеше айнымалыға тәуелді функцияларға қатысты мәселелерді формулирлеу үшін қолданылады және жабық түрде шығарылуы немесе тиісті компьютерлік модель құруға пайдаланылуы мүмкін. ИДТ табиғаттағы дыбыс, жылу, электростатика, электродинамика, сұйық ағыны, серпімділік немесе кванттық механика сияқты алуан түрлі құбылыстарды сипаттау үшін қолданылады. Бұл көрінетіндей әртүрлі физикалық құбылыстарды ИДТ арқылы бірдей формальды түрде бейнелеуге болады. Қалыпты дифференциалдық теңдеулер көбінесе бір өлшемді динамикалық жүйелерді модельдегендей, ішінара дифференциалдық теңдеулер көбінесе көп өлшемді жүйелерді модельдейді. Стохастикалық ішінара дифференциалдық теңдеулер кездейсоқтықты модельдеу үшін ішінара дифференциалдық теңдеулерді кеңейтеді.
Сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер
Сызықтық емес дифференциалдық теңдеу – белгісіз функция және оның туындылары бойынша сызықтық емес дифференциалдық теңдеу (функция аргументтеріндегі сызықтылық немесе сызықтық емес сипаттары ескерілмейді). Сызықтық емес дифференциалдық теңдеулерді дәл шешуге арналған әдістер өте аз; белгілі әдістер көбінесе теңдеудің нақты симметрияларға ие болуына байланысты. Сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер ұзақ уақыт аралығында өте күрделі мінез-құлықты көрсетуі мүмкін, бұл хаосқа тән. Тіпті сызықтық емес дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің болуы, бірегейлігі және жалғастырылуы, сондай-ақ сызықтық емес дербес дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы және шекаралық мәселелердің дұрыс қойылуы қиын мәселелер болып табылады, ал олардың шешімі арнайы жағдайларда математикалық теорияда маңызды жетістік деп есептеледі (мысалы, Navier-Stokes теңдеуінің болуы және тегісдігі). Дегенмен, егер дифференциалдық теңдеу мағыналы физикалық процестің дұрыс тұжырымдалған бейнесі болса, онда оның шешімі болатыны күтіледі. Сызықтық дифференциалдық теңдеулер көбінесе сызықтық емес теңдеулерге жуықтау ретінде пайда болады. Бұл жуықтаулар тек шектеулі жағдайларда ғана жарамды. Мысалы, гармоникалық осциллятор теңдеуі – шағын амплитудалы тербелістер үшін жарамды сызықтық емес маятник теңдеуінің жуықтауы.
Теңдеудің реті мен дәрежесі
Дифференциалдық теңдеудің реті – дифференциалдық теңдеуде кездесетін белгісіз функцияның ең жоғары ретті туындысы. Мысалы, тек бірінші ретті туындыларды ғана қамтитын теңдеу – бірінші ретті дифференциалдық теңдеу, екінші ретті туындыны қамтитын теңдеу – екінші ретті дифференциалдық теңдеу, және т.с.с. Егер теңдеу белгісіз функция және оның туындыларынан тұратын полином түрінде жазылса, дифференциалдық теңдеудің дәрежесі контекстке байланысты белгісіз функцияның ең жоғары ретті туындысының полиномдық дәрежесі немесе белгісіз функция мен оның туындыларындағы жалпы дәрежесі болып табылады. Атап айтқанда, сызықты дифференциалдық теңдеу екі мағынада да бірінші дәрежелі, ал сызықты емес дифференциалдық теңдеу бірінші мағынада бірінші дәрежелі, бірақ екінші мағынада дәрежесі басқаша болуы мүмкін. Табиғаттағы құбылыстарды сипаттайтын дифференциалдық теңдеулерде көбінесе тек бірінші және екінші ретті туындылар кездеседі, бірақ кейбір ерекшеліктер де бар, мысалы, жұқа пленка теңдеуі – төртінші реттік дербес дифференциалдық теңдеу.
Қарым-қатынас ұғымдары
Кешіктірілген дифференциалдық теңдеу (КДТ) – бұл бір айнымалы функция үшін, әдетте уақыт деп аталатын, теңдеу, онда функцияның белгілі бір уақыттағы туындысы осы функцияның бұрынғы уақыттардағы мәндері арқылы беріледі. Интегралды теңдеулерді дифференциалдық теңдеулердің аналогы ретінде қарастыруға болады, онда туындыларды қамтитын теңдеудің орнына теңдеуде интегралдар болады. Интегралды дифференциалдық теңдеу (ИДТ) – дифференциалдық теңдеу мен интегралды теңдеудің аспектілерін біріктіретін теңдеу. Стохастикалық дифференциалдық теңдеу (СДТ) – белгісіз шаманың стохастикалық процесс болып табылатын және теңдеу белгілі бір стохастикалық процестерді қамтитын теңдеу, мысалы, диффузиялық теңдеулер жағдайындағы Винер процесі. Стохастикалық бөлшектік дифференциалдық теңдеу (СБДТ) – бұл кванттық өріс теориясы мен статистикалық механикада қолданылуы бар кеңістік-уақыттық шу процестерін қосу үшін СДТ-ны жалпылайтын теңдеу. Ультраметрлік псевдодифференциалдық теңдеу – ультраметрлік кеңістікте p-адик сандарды қамтитын теңдеу. Ультраметрлік псевдодифференциалдық теңдеулерді қамтитын математикалық модельдер дифференциалдық операторлардың орнына псевдодифференциалдық операторларды қолданады. Дифференциалдық алгебралық теңдеу (ДАТ) – имплицитті түрде берілген дифференциалдық және алгебралық терминдерді қамтитын дифференциалдық теңдеу.
Дифференциалдық теңдеулерге байланыс
Дифференциалдық теңдеулер теориясы айырма теңдеулер теориясымен тығыз байланысты, онда координаттар тек дискретті мәндерді қабылдайды және қарым-қатынас белгісіз функцияның немесе функциялардың мәндерін, сондай-ақ жақын орналасқан координаталардағы мәндерді қамтиды. Дифференциалдық теңдеулердің сандық шешімдерін табудың немесе дифференциалдық теңдеулердің қасиеттерін зерттеудің көптеген әдістері дифференциалдық теңдеудің шешімін сәйкес айырма теңдеуінің шешімімен жуықтауды қолданады.
Қолданбалар
Дифференциалдық теңдеулерді зерттеу – таза және қолданбалы математика, физика және инженерия салаларындағы кең ауқымды ғылым. Бұл ғылымдардың барлығы әртүрлі типтегі дифференциалдық теңдеулердің қасиеттерімен айналысады. Таза математика шешімдердің болуы мен бірегейлігіне баса назар береді, ал қолданбалы математика шешімдерді жуықтау әдістерінің қатаң негізделуін күшейтеді. Дифференциалдық теңдеулер аспан денелерінің қозғалысынан бастап, көпірлерді салуға дейін, нейрондардың өзара әрекеттесуіне дейін, дерлік барлық физикалық, техникалық немесе биологиялық процестерді модельдеуде маңызды рөл атқарады. Шын өмірдегі мәселелерді шешуге қолданылатын дифференциалдық теңдеулер міндетті түрде тікелей шешілмейді, яғни олардың аналитикалық шешімдері болмауы мүмкін. Оның орнына, сандық әдістерді пайдаланып шешімдерді жуықтауға болады. Физика мен химияның көптеген негізгі заңдарын дифференциалдық теңдеулер арқылы тұжырымдауға болады. Биология және экономикада дифференциалдық теңдеулер күрделі жүйелердің мінез-құлқының моделін жасау үшін қолданылады. Дифференциалдық теңдеулердің математикалық теориясы алғаш рет осы теңдеулердің пайда болған және нәтижелері қолданылған ғылымдармен бірге дамыды. Дегенмен, кейде өте ерекше ғылыми салалардан туындаған түрлі проблемалар бірдей дифференциалдық теңдеулерге әкелуі мүмкін. Мұндай жағдайларда, теңдеулердің артындағы математикалық теорияны әртүрлі құбылыстарды біріктіретін принцип ретінде қарастыруға болады. Мысалы, атмосферадағы жарық пен дыбыстың таралуын және тоған бетіндегі толқындардың таралуын қарастырайық. Олардың барлығын бірдей екінші реттік дербес дифференциалдық теңдеу – толқын теңдеуі сипаттайды, бұл жарық пен дыбысты судағы толқындар сияқты толқындардың бір түрі ретінде қарастыруға мүмкіндік береді. Жылу өткізгіштігі, оның теориясын Жозеф Фурье жасаған, тағы бір екінші реттік дербес дифференциалдық теңдеу – жылу теңдеуімен басқарылады. Көптеген диффузиялық процестер, сырттай қарағанда әртүрлі болғанымен, бірдей теңдеумен сипатталады; мысалы, қаржы саласындағы Блэк-Шоулз теңдеуі жылу теңдеуімен байланысты. Әртүрлі ғылыми салаларда ат қойылған дифференциалдық теңдеулердің саны осы тақырыптың маңыздылығын көрсетеді. Аталған дифференциалдық теңдеулердің тізімін қараңыз.