Введение

Тип функционального уравнения (математика)

В математике дифференциальное уравнение – это уравнение, связывающее одну или несколько неизвестных функций и их производные. В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные – скорость их изменения, а дифференциальное уравнение определяет взаимосвязь между ними. Такие соотношения встречаются часто, поэтому дифференциальные уравнения играют важную роль во многих областях, включая инженерию, физику, экономику и биологию. Изучение дифференциальных уравнений в основном состоит в исследовании их решений (множества функций, удовлетворяющих уравнению) и свойств этих решений. Лишь самые простые дифференциальные уравнения могут быть решены аналитически; однако многие свойства решений данного дифференциального уравнения можно установить, не вычисляя их точно. Если точное решение в виде формулы недоступно, решения часто можно приближенно вычислить численно с помощью компьютеров. Теория динамических систем делает акцент на качественном анализе систем, описываемых дифференциальными уравнениями, а также разработаны многочисленные численные методы для определения решений с заданной точностью.

История

Дифференциальные уравнения появились с изобретением исчисления Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем. В главе 2 своей работы 1671 года Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum Ньютон перечислил три вида дифференциальных уравнений: во всех этих случаях y — неизвестная функция x (или x1 и x2), а f — заданная функция. Он решает эти и другие примеры, используя бесконечные ряды, и обсуждает неоднозначность решений. Якоб Бернулли предложил дифференциальное уравнение Бернулли в 1695 году. Это обычное дифференциальное уравнение, для которого Лейбниц в следующем году получил решения, упростив его. Исторически проблема вибрирующей струны, например, струны музыкального инструмента, изучалась Жаном Ле Роном д’Алембером, Леонардом Эйлером, Даниэлем Бернулли и Жозефом Луи Лагранжем. В 1746 году д’Аламбер открыл одномерное волновое уравнение, а в течение десяти лет Эйлер открыл трехмерное волновое уравнение. Уравнение Эйлера — Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с их исследованиями проблемы таутохроны. Это проблема определения кривой, по которой взвешенная частица будет падать в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки. Лагранж решил эту проблему в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба в дальнейшем развили метод Лагранжа и применили его к механике, что привело к формулированию лагранжевой механики. В 1822 году Фурье опубликовал свою работу о теплопроводности в Théorie analytique de la chaleur (Аналитическая теория тепла), в которой он основывал свои рассуждения на законе Ньютона об охлаждении, а именно, что поток тепла между двумя соседними молекулами пропорционален чрезвычайно малой разнице их температур. В этой книге содержалось предложение Фурье о его уравнении теплопроводности для диффузии тепла. Это частное дифференциальное уравнение теперь является общепринятой частью учебной программы по математической физике.

Пример

В классической механике движение тела описывается его положением и скоростью при изменении значения времени. Законы Ньютона позволяют выражать эти переменные динамически (исходя из положения, скорости, ускорения и различных сил, действующих на тело) в виде дифференциального уравнения для неизвестного положения тела как функции времени. В некоторых случаях это дифференциальное уравнение (называемое уравнением движения) может быть решено аналитически. Примером моделирования реальной задачи с использованием дифференциальных уравнений является определение скорости падения шара в воздухе, учитывая только силу тяжести и сопротивление воздуха. Ускорение шара к земле равно ускорению свободного падения минус замедлению, вызванному сопротивлением воздуха. Сила тяжести считается постоянной, а сопротивление воздуха может быть смоделировано как пропорциональное скорости шара. Это означает, что ускорение шара, являющееся производной его скорости, зависит от скорости (а скорость – от времени). Нахождение скорости как функции времени включает решение дифференциального уравнения и проверку его корректности.

Типы

Дифференциальные уравнения можно разделить на несколько типов. Помимо описания свойств самого уравнения, эти классы дифференциальных уравнений могут помочь в выборе метода решения. Распространенные классификации включают в себя разделение на обыкновенные и частные, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные уравнения. Этот список далеко не полный; существует множество других свойств и подклассов дифференциальных уравнений, которые могут оказаться очень полезными в конкретных ситуациях.

Обычные дифференциальные уравнения

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) – это уравнение, содержащее неизвестную функцию одной вещественной или комплексной переменной x, её производные и некоторые заданные функции от x. Неизвестная функция обычно обозначается переменной (часто y), которая, следовательно, зависит от x. Таким образом, x часто называют независимой переменной уравнения. Термин "обыкновенное" используется в отличие от частного дифференциального уравнения, которое может содержать более одной независимой переменной. Линейные дифференциальные уравнения – это дифференциальные уравнения, линейные относительно неизвестной функции и её производных. Их теория хорошо разработана, и во многих случаях их решения можно выразить через интегралы. Большинство ОДУ, встречающихся в физике, являются линейными. Поэтому большинство специальных функций можно определить как решения линейных дифференциальных уравнений (см. голономную функцию). Поскольку решения дифференциальных уравнений, как правило, нельзя выразить в аналитическом виде, для их решения на компьютере обычно применяются численные методы.

Частичные дифференциальные уравнения

Частичное дифференциальное уравнение (ПДУ) – это дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. (В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, которые оперируют функциями одной переменной и их производными.) ПДУ используются для математической постановки задач, связанных с функциями многих переменных, и могут быть решены аналитически или служить основой для создания соответствующей компьютерной модели. ПДУ позволяют описывать широкий спектр явлений природы, таких как звук, тепло, электростатика, электродинамика, течение жидкости, упругость или квантовая механика. Эти, на первый взгляд, различные физические явления могут быть формализованы схожим образом с помощью ПДУ. Подобно тому, как обыкновенные дифференциальные уравнения часто моделируют одномерные динамические системы, частичные дифференциальные уравнения часто моделируют многомерные системы. Стохастические ПДУ обобщают ПДУ для моделирования случайных процессов.

Нелинейные дифференциальные уравнения

Нелинейное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение, которое не является линейным по неизвестной функции и её производным (линейность или нелинейность аргументов функции здесь не рассматриваются). Существует очень мало методов точного решения нелинейных дифференциальных уравнений; известные методы обычно зависят от наличия у уравнения определенных симметрий. Нелинейные дифференциальные уравнения могут демонстрировать очень сложное поведение на протяженных временных интервалах, характерное для хаоса. Даже фундаментальные вопросы о существовании, единственности и возможности продолжения решений нелинейных дифференциальных уравнений, а также корректности постановки задач Коши и краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных являются сложными проблемами, и их разрешение в частных случаях считается значительным достижением в математической теории (например, вопросы существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса). Однако, если дифференциальное уравнение корректно описывает осмысленный физический процесс, то следует ожидать, что оно имеет решение. Линейные дифференциальные уравнения часто возникают как приближения к нелинейным уравнениям. Эти приближения справедливы лишь при определенных ограничениях. Например, уравнение гармонического осциллятора является приближением к нелинейному уравнению маятника, применимым для малых амплитуд колебаний.

Порядок и степень уравнения

Порядок дифференциального уравнения – это наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в это уравнение. Например, уравнение, содержащее только производные первого порядка, является дифференциальным уравнением первого порядка, уравнение, содержащее производную второго порядка, – дифференциальным уравнением второго порядка, и так далее. Если уравнение представлено в виде полиномиального уравнения относительно неизвестной функции и её производных, то степень дифференциального уравнения, в зависимости от контекста, может определяться как степень многочлена по старшей производной неизвестной функции, либо как общая степень многочлена относительно неизвестной функции и её производных. В частности, линейное дифференциальное уравнение имеет степень один в обоих случаях, а нелинейное дифференциальное уравнение имеет степень один в первом случае, но не во втором. Дифференциальные уравнения, описывающие природные явления, почти всегда содержат только производные первого и второго порядка, однако существуют исключения, например, уравнение для тонких пленок, которое является частным дифференциальным уравнением четвертого порядка.

Связанные понятия

Дифференциальное уравнение с запаздыванием (ДУЗ) – уравнение для функции одной переменной, обычно называемой временем, в котором производная функции в определенный момент времени выражается через значения функции в предыдущие моменты времени. Интегральные уравнения можно рассматривать как аналоги дифференциальных уравнений, где вместо уравнения, содержащего производные, уравнение содержит интегралы. Интегро-дифференциальное уравнение (ИДУ) – уравнение, объединяющее свойства дифференциального и интегрального уравнений. Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) – уравнение, в котором неизвестная величина является стохастическим процессом, а уравнение включает в себя некоторые известные стохастические процессы, например, процесс Винера в случае уравнений диффузии. Стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных (СДУЧП) – уравнение, которое обобщает СДУ для включения пространственно-временных шумовых процессов, находящее применение в квантовой теории поля и статистической механике. Ультраметрическое псевдодифференциальное уравнение – уравнение, содержащее p-адические числа в ультраметрическом пространстве. Математические модели, использующие ультраметрические псевдодифференциальные уравнения, применяют псевдодифференциальные операторы вместо дифференциальных операторов. Дифференциально-алгебраическое уравнение (ДАУ) – дифференциальное уравнение, содержащее дифференциальные и алгебраические члены, заданное в неявной форме.

Связь с дифференциальными уравнениями

Теория дифференциальных уравнений тесно связана с теорией разностных уравнений, в которой координаты принимают только дискретные значения, а соотношение включает значения неизвестной функции (или функций) и значения в соседних координатах. Многие методы для численного решения дифференциальных уравнений или изучения их свойств основаны на приближении решения дифференциального уравнения решением соответствующего разностного уравнения.

Приложения

Изучение дифференциальных уравнений – это широкая область в чистой и прикладной математике, физике и инженерии. Все эти дисциплины связаны с изучением свойств дифференциальных уравнений различных типов. Чистая математика фокусируется на существовании и единственности решений, а прикладная математика – на строгом обосновании методов для их приближенного вычисления. Дифференциальные уравнения играют важную роль в моделировании практически любого физического, технического или биологического процесса, от движения небесных тел до проектирования мостов и взаимодействия нейронов. Дифференциальные уравнения, используемые для решения практических задач, не всегда могут быть решены аналитически, то есть не имеют решений в замкнутой форме. Вместо этого решения можно приближенно вычислять с помощью численных методов. Многие фундаментальные законы физики и химии могут быть сформулированы в виде дифференциальных уравнений. В биологии и экономике дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения сложных систем. Математическая теория дифференциальных уравнений начала развиваться одновременно с науками, в которых эти уравнения возникли и где были найдены их применения. Однако, различные задачи, иногда возникающие в совершенно разных областях науки, могут приводить к одним и тем же дифференциальным уравнениям. В таких случаях математическая теория, лежащая в основе этих уравнений, может рассматриваться как объединяющий принцип, объясняющий разнообразие явлений. Например, рассмотрим распространение света и звука в атмосфере и волн на поверхности пруда. Все они могут быть описаны одним и тем же частным дифференциальным уравнением второго порядка – волновым уравнением, которое позволяет рассматривать свет и звук как формы волн, подобные знакомым волнам на воде. Процессы теплопроводности, теория которых была разработана Жозефом Фурье, описываются другим частным дифференциальным уравнением второго порядка – уравнением теплопроводности. Оказывается, что многие процессы диффузии, хотя и кажутся различными, описываются одним и тем же уравнением; например, уравнение Блэка — Шоулза в финансах связано с уравнением теплопроводности. Количество дифференциальных уравнений, получивших собственные имена в различных научных областях, свидетельствует о важности этой темы. См. Список названных дифференциальных уравнений.