Кіріспе
Төрт өлшемді ассоциативтік алгебра нақты сандар үстінде + Бөлінген кватерниондар көбейтуі × 1 i j k 1 1 i j k i −1 k −j j −k 1 −i k k j i 1 Абстракт алгебрада бөлінген кватерниондар немесе кокватерниондар 1849 жылы Джеймс Кокл осы есіммен енгізген алгебралық құрылымды құрайды. Олар нақты сандар үстінде төрт өлшемді ассоциативтік алгебраны құрайды. 20-шы ғасырда сақиналар мен алгебралардың координатқа тәуелсіз анықтамалары енгізілгеннен кейін, бөлінген кватерниондар алгебрасы 2×2 нақты матрицалар сақинасына изоморфты екені дәлелденді. Сондықтан, бөлінген кватерниондарды зерттеуді нақты матрицаларды зерттеуге келтіруге болады, және осы себепті 20-шы және 21-ші ғасырлардағы математикалық әдебиетте бөлінген кватерниондар туралы аздаған мәліметтер кездеседі.
+Split quaternion multiplication ×
1
i
j
k 1
1
i
j
k i
i
−1
k
−j j
j
−k
1
−i k
k
j
i
1
In abstract algebra, the split quaternions or coquaternions form an algebraic structure introduced by James Cockle in 1849 under the latter name. They form an associative algebra of dimension four over the real numbers. After introduction in the 20th century of coordinate free definitions of rings and algebras, it was proved that the algebra of split quaternions is isomorphic to the ring of the 2×2 real matrices. So the study of split quaternions can be reduced to the study of real matrices, and this may explain why there are few mentions of split quaternions in the mathematical literature of the 20th and 21st centuries.
Гиперболалық бірліктер
Бұл N(q) < 0 болған жағдай. Онда 1=y^(2) + z^(2) − x^(2) = 1 теңдеуімен анықталатын бір қабатты гиперболоидқа жатады. Сондықтан, n, t, u нақты сандары бар, олар үшін және
It follows that belongs to the hyperboloid of one sheet of equation 1=y^(2) + z^(2) − x^(2) = 1. Therefore, there are real numbers n, t, u such that and
This is a parametrization of all split quaternions whose nonreal part has a negative norm. This is also a parameterization of the corresponding subalgebras by the pairs of opposite points of a hyperboloid of one sheet: the split quaternions of the form form a hyperboloid of one sheet; a subalgebra generated by a split quaternion with a nonreal part of negative norm contains exactly two opposite points on this hyperboloid; and the hyperboloid does not contain any other point. The algebra generated by a split quaternion with a nonreal part of negative norm is isomorphic to and to the ring of split complex numbers. It is also isomorphic (as an algebra) to by the mapping defined by
Бұл нақты емес бөлігі теріс нормаға ие барлық бөлінген кватерниондардың параметризациясы болып табылады. Бұл сонымен қатар бір қабатты гиперболоидтың қарама-қарсы нүктелер жұптары арқылы сәйкес субальгебралардың параметризациясы: формасындағы бөлінген кватерниондар бір қабатты гиперболоидты құрайды; теріс нормаға ие нақты емес бөлігі бар бөлінген кватернионмен туындаған субальгебрада осы гиперболоидтағы екі қарама-қарсы нүкте ғана болады; және гиперболоидта басқа нүктелер жоқ. Нақты емес бөлігі теріс нормаға ие бөлінген кватернионнан туындаған алгебра бөлінген кешенді сандар сақинасына изоморфты. Ол сондай-ақ (алгебра ретінде) келесі формуламен анықталатын шамалау арқылы изоморфты.
It follows that belongs to the hyperboloid of one sheet of equation 1=y^(2) + z^(2) − x^(2) = 1. Therefore, there are real numbers n, t, u such that and
This is a parametrization of all split quaternions whose nonreal part has a negative norm. This is also a parameterization of the corresponding subalgebras by the pairs of opposite points of a hyperboloid of one sheet: the split quaternions of the form form a hyperboloid of one sheet; a subalgebra generated by a split quaternion with a nonreal part of negative norm contains exactly two opposite points on this hyperboloid; and the hyperboloid does not contain any other point. The algebra generated by a split quaternion with a nonreal part of negative norm is isomorphic to and to the ring of split complex numbers. It is also isomorphic (as an algebra) to by the mapping defined by
Түстер кеңістігі
Бөлінген кватерниондар түс тепе-теңдігіне қолданылған. Модель алгебраны көрсететін симметриялық матрицалардың Жордан алгебрасына сілтеме жасайды. Модель үш түстілік теориясын Херингтің қарсы түс теориясымен үйлестіреді және хроматикалық қашықтықтарды өлшеу үшін гиперболалық геометрияның Кейли-Клейн моделін пайдаланады.
Тарихи жазбалар
Кокватерниондар алғаш рет (осы атаумен) 1849 жылы Джеймс Кокл Лондон-Эдинбург-Дублин философиялық журналында енгізілді. Коклдың таныстыру жұмыстары 1904 жылғы Кватернион қоғамының библиографиясында еске түсірілді. Александр Макфарлейн 1900 жылы Парижде өткен Халықаралық математиктер конгресінде сөйлеген сөзінде бөлінген кватерниондық векторлардың құрылымын эксфералық жүйе деп атады. Макфарлейн 1910 жылы "Кватернион қоғамының бюллетенінде" жарияланған "Ғарыш алгебрасы принциптерін біріктіру және дамыту" мақаласында "сфералық талдаудың гиперболоидтық аналогын" қарастырды. Бірлік сферасы 1910 жылы Ханс Бек тарапынан зерттелді. Мысалы, диэдрлік топ 419-бетте кездеседі. Бөлінген кватерниондық құрылым "Математика жылнамасында" да қысқаша айтылған.