Введение
Четырехмерная ассоциативная алгебра над действительными числами
+ Умножение расщепленных кватернионов ×
1
i
j
k
1
1
i
j
k
i
-1
k
-j
j
-k
1
-i
k
k
j
i
1
+Split quaternion multiplication ×
1
i
j
k 1
1
i
j
k i
i
−1
k
−j j
j
−k
1
−i k
k
j
i
1
В абстрактной алгебре расщепленные кватернионы, или кокватернионы, образуют алгебраическую структуру, введенную Джеймсом Коклом в 1849 году под вторым названием. Они образуют ассоциативную алгебру размерности четыре над полем действительных чисел. После введения в XX веке координатно-независимых определений колец и алгебр было доказано, что алгебра расщепленных кватернионов изоморфна кольцу 2×2 действительных матриц. Таким образом, изучение расщепленных кватернионов можно свести к изучению действительных матриц, что может объяснить немногочисленность упоминаний о расщепленных кватернионах в математической литературе XX и XXI веков.
Гиперболические единицы
Это тот случай, когда N(q) < 0. Отсюда следует, что принадлежит гиперболоиду одного листа, заданному уравнением 1 = y² + z² − x² = 1. Следовательно, существуют действительные числа n, t, u такие, что и .
It follows that belongs to the hyperboloid of one sheet of equation 1=y^(2) + z^(2) − x^(2) = 1. Therefore, there are real numbers n, t, u such that and
This is a parametrization of all split quaternions whose nonreal part has a negative norm. This is also a parameterization of the corresponding subalgebras by the pairs of opposite points of a hyperboloid of one sheet: the split quaternions of the form form a hyperboloid of one sheet; a subalgebra generated by a split quaternion with a nonreal part of negative norm contains exactly two opposite points on this hyperboloid; and the hyperboloid does not contain any other point. The algebra generated by a split quaternion with a nonreal part of negative norm is isomorphic to and to the ring of split complex numbers. It is also isomorphic (as an algebra) to by the mapping defined by
Это параметризация всех расщеплённых кватернионов, нереальная часть которых имеет отрицательную норму. Это также параметризация соответствующих субальгебр парами противоположных точек гиперболоида одного листа: расщеплённые кватернионы вида образуют гиперболоид одного листа; субальгебра, порожденная расщеплённым кватернионом с нереальной частью отрицательной нормы, содержит ровно две противоположные точки на этом гиперболоиде; и гиперболоид не содержит других точек. Алгебра, порожденная расщеплённым кватернионом с нереальной частью отрицательной нормы, изоморфна алгебре расщеплённых комплексных чисел и кольцу расщеплённых комплексных чисел. Она также изоморфна (как алгебра) посредством отображения, заданного
It follows that belongs to the hyperboloid of one sheet of equation 1=y^(2) + z^(2) − x^(2) = 1. Therefore, there are real numbers n, t, u such that and
This is a parametrization of all split quaternions whose nonreal part has a negative norm. This is also a parameterization of the corresponding subalgebras by the pairs of opposite points of a hyperboloid of one sheet: the split quaternions of the form form a hyperboloid of one sheet; a subalgebra generated by a split quaternion with a nonreal part of negative norm contains exactly two opposite points on this hyperboloid; and the hyperboloid does not contain any other point. The algebra generated by a split quaternion with a nonreal part of negative norm is isomorphic to and to the ring of split complex numbers. It is also isomorphic (as an algebra) to by the mapping defined by
Цветовое пространство
Разделенные кватернионы применяются для цветового балансирования. Модель опирается на алгебру Джордана симметричных матриц, представляющую данную алгебру. Модель согласовывает трихроматическую теорию зрения с теорией цветового оппонента Геринга и использует модель гиперболической геометрии Кейли-Клейна для вычисления хроматических расстояний.
Исторические примечания
Кокватернионы были впервые представлены (под этим названием) в 1849 году Джеймсом Коклом в Лондонско-Эдинбургско-Дублинском философском журнале. Вводные работы Кокла были упомянуты в Библиографии Кватернионского общества 1904 года. Александр Макфарлейн назвал структуру векторов расщеплённых кватернионов экссферической системой, когда выступал на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. В статье 1910 года "Объединение и развитие принципов алгебры пространства", опубликованной в Бюллетене Кватернионского общества, Макфарлейн рассматривал "гиперболоидный эквивалент сферического анализа". Единичная сфера была рассмотрена в 1910 году Гансом Бекком. Например, диэдрическая группа встречается на странице 419. Структура расщеплённых кватернионов также кратко упоминается в "Анналах математики".