Кіріспе

Математикада Линделоф гипотезасы – фин математигі Эрнст Леонард Линделофтың Риманның зетта функциясының критикалық түзудегі өсу жылдамдығы туралы болжамы. Бұл гипотеза Риман гипотезасынан туындайды. Оған сәйкес, кез келген ε > 0 үшін,

t шексіздікке ұмтылғанда (үлкен O нотациясын қараңыз). ε-ны кішірек мәнмен алмастыруға болатындықтан, болжамды былай да айтуға болады: кез келген оң ε үшін,

μ функциясы

Егер σ нақты болса, онда μ(σ) – ζ(σ + iT) = O(Tᵃ) шартын қанағаттандыратын барлық нақты сандардың ең төменгі шегі ретінде анықталады. σ > 1 болған жағдайда μ(σ) = 0 екенін тексеру оңай, ал дзета-функцияның функционалдық теңдеуі μ(σ) = μ(1 − σ) − σ + 1/2 екенін көрсетеді. Фрагмен–Линделоф теоремасы μ – дөңес функция екенін білдіреді. Линделоф гипотезасы μ(1/2) = 0 деп тұжырымдайды, бұл μ-дың жоғарыда аталған қасиеттерімен бірге μ(σ) σ ≥ 1/2 үшін 0-ге, ал σ ≤ 1/2 үшін 1/2 − σ-ға тең екенін білдіреді. Линделофтың дөңестік нәтижесі, μ(1) = 0 және μ(0) = 1/2 екенімен бірге 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4 екенін көрсетеді. Харди мен Литтлвуд 1/4 жоғарғы шегін, жуық функционалдық теңдеуге экспоненциалдық қосындыларды бағалау үшін Вейль әдісін қолдану арқылы 1/6-ға төмендетті. Кейбір авторлар ұзақ және күрделі дәлелдер арқылы оны 1/6-дан сәл төмендетті, нәтижелері төмендегі кестеде көрсетілген:

μ(1/2) ≤ Автор 1/4 0.25 Lindelöf Дөңестік шегі 1/6 0.1667 Hardy & Littlewood 163/988 0.1650 Walfisz 1924 27/164 0.1647 Titchmarsh 1932 229/1392 0.164512 Phillips 1933 0.164511 Rankin 1955 19/116 0.1638 Titchmarsh 1942 15/92 0.1631 Min 1949 6/37 0.16217 Haneke 1962 173/1067 0.16214 Kolesnik 1973 35/216 0.16204 Kolesnik 1982 139/858 0.16201 Kolesnik 1985 9/56 0.1608 Bombieri & Iwaniec 1986 32/205 0.1561 Huxley 53/342 0.1550 Bourgain 13/84 0.1548 Bourgain

Риман гипотезасымен байланысы

Баклунд (1918–1919) Линделоф гипотезасының зета-функцияның нөлдері туралы келесі мәлімдемеге эквивалентті екенін көрсетті: кез келген ε > 0 үшін, нақты бөлігі 1/2 + ε-дан кем емес және жолмы бөлгісі T және T + 1 аралығындағы нөлдердің саны, T шексіздікке ұмтылғанда o(log(T))-қа тең. Риман гипотезасы бұл аймақта нөлдердің жоқтығын білдіреді, демек Линделоф гипотезасын да білдіреді. T және T + 1 аралығындағы жолмы бөлгісі бар нөлдердің саны O(log(T)) екені белгілі, сондықтан Линделоф гипотезасы бұған дейін дәлелденгеннен сәл ғана күштірек көрінеді, бірақ оған қарамастан, оны дәлелдеуге жасалған барлық әрекеттер сәтсіз аяқталды.

L-функциялары

Риманның зетта функциясы L функциялары деп аталатын кеңірек функциялар отбасының құрамына кіреді. 2010 жылы Джозеф Бернштейн мен Андре Резников PGL(2) жағдайында L функциялары үшін субконвексиялық бағалаулар алудың жаңа әдістерін ұсынды, ал Аксхай Венкатеш пен Филипп Мишель GL(1) және GL(2) жағдайлары үшін, ал 2021 жылы Пол Нельсон GL(n) жағдайы үшін ұсынды.