Введение

В математике гипотеза Линделёфа — это утверждение, предложенное финским математиком Эрнстом Леонардом Линделёфом относительно скорости роста дзета-функции Римана на критической прямой. Эта гипотеза является следствием гипотезы Римана. Она утверждает, что для любого ε > 0,

при t, стремящемся к бесконечности (см. нотацию «O» большое). Поскольку ε можно заменить на меньшее значение, утверждение можно переформулировать следующим образом: для любого положительного ε,

Функция μ

Если σ действительно, то μ(σ) определяется как инфимум всех действительных чисел a, таких что ζ(σ + iT) = O(Tᵃ). Легко проверить, что μ(σ) = 0 для σ > 1, а функциональное уравнение дзета-функции подразумевает, что μ(σ) = μ(1 − σ) − σ + 1/2. Теорема Фрагмена — Линделёфа предполагает, что μ является выпуклой функцией. Гипотеза Линделёфа утверждает, что μ(1/2) = 0, что вместе с вышеуказанными свойствами μ подразумевает, что μ(σ) равен 0 для σ ≥ 1/2 и 1/2 − σ для σ ≤ 1/2. Результат выпуклости Линделёфа вместе с μ(1) = 0 и μ(0) = 1/2 подразумевает, что 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. Верхняя граница 1/4 была снижена Харди и Литтлвудом до 1/6 путем применения метода Вейля для оценки экспоненциальных сумм к приближённому функциональному уравнению. С тех пор несколько авторов снизили её до значения, чуть меньшего 1/6, используя длинные и технически сложные доказательства, как показано в следующей таблице:

μ(1/2) ≤ Автор 1/4 0.25 Lindelöf Ограничение выпуклостью 1/6 0.1667 Hardy & Littlewood 163/988 0.1650 Walfisz 1924 27/164 0.1647 Titchmarsh 1932 229/1392 0.164512 Phillips 1933 0.164511 Rankin 1955 19/116 0.1638 Titchmarsh 1942 15/92 0.1631 Min 1949 6/37 0.16217 Haneke 1962 173/1067 0.16214 Kolesnik 1973 35/216 0.16204 Kolesnik 1982 139/858 0.16201 Kolesnik 1985 9/56 0.1608 Bombieri & Iwaniec 1986 32/205 0.1561 Huxley 53/342 0.1550 Bourgain 13/84 0.1548 Bourgain

Связь с гипотезой Римана

Баклунд (1918–1919) показал, что гипотеза Линделёфа эквивалентна следующему утверждению о нулях дзета-функции: для любого ε > 0, количество нулей с действительной частью не меньше 1/2 + ε и мнимой частью между T и T + 1 является o(log(T)) при T стремящемся к бесконечности. Гипотеза Римана подразумевает, что в этой области вообще нет нулей, и, следовательно, подразумевает гипотезу Линделёфа. Известно, что количество нулей с мнимой частью между T и T + 1 имеет порядок O(log(T)), поэтому гипотеза Линделёфа кажется лишь немного сильнее, чем то, что уже доказано, но, несмотря на это, все попытки её доказать остаются безуспешными.

Функции L

Риманнова дзета-функция принадлежит к более широкому семейству функций, называемых L-функциями. В 2010 году Джозеф Бернштейн и Андре Резников предложили новые методы для получения оценок субконвексии для L-функций в случае PGL(2), Акшай Венкатеш и Филипп Мишель – в случаях GL(1) и GL(2), а в 2021 году Пол Нельсон – для случая GL(n).