Кіріспе
Стохастикалық дифференциалдық теңдеулердің есебі
Ито есебі, Киёси Итоның құрметіне аталған, Браун қозғалысы (Винер процесін қараңыз) сияқты стохастикалық процестерге есептеу әдістерін кеңейтеді. Оның математикалық қаржы және стохастикалық дифференциалдық теңдеулерде маңызды қолданылуы бар. Орталық ұғым – Итоның стохастикалық интегралы, талдаудағы Риманн-Стильджес интегралының стохастикалық жалпылауы. Интеграндар мен интеграторлар енді стохастикалық процестер болып табылады:
мұнда H – X туғызған сүзгіге бейімделген, жергілікті квадраттық интегралданатын процесс, бұл Браун қозғалысы немесе, жалпы алғанда, жартылай мартингаль. Интеграцияның нәтижесі тағы бір стохастикалық процесс болып табылады. Нақты айтқанда, 0-ден кез келген белгілі бір t-ге дейінгі интеграл кездейсоқ шама болып табылады, ол кездейсоқ шамалардың белгілі бір тізбегінің лиміті ретінде анықталады. Браун қозғалысының траекториялары стандартты есептеу техникаларын қолдану талаптарына сай келмейді. Сондықтан интеграл стохастикалық процесспен, Ито стохастикалық интегралы кез келген нүктеде дифференциалдамайтын және әр уақыт аралығында шексіз өзгеретін функцияға қатысты интегралға тең. Негізгі түсінік – интегралды H интегралды бейімделген кезде анықтауға болады, яғни оның t уақытындағы мәні осы уақытқа дейін қолжетімді ақпаратқа ғана байланысты болады. Шамамен айтқанда, 0-ден t-ге дейінгі аралықтағы бөліктердің тізбегі таңдалады және Риман қосындылары құрастырылады. Риман қосындысын есептеген сайын интегратордың белгілі бір жағдайы қолданылады. Функцияның мәнін есептеу үшін әрбір кіші аралықтағы қай нүкте қолданылатыны өте маңызды. Содан кейін лимит бөліктің торлары нөлге жақындағанда алынады. Бұл лимит бар екенін және бөліктердің нақты тізбегіне тәуелсіз екенін көрсету үшін көптеген техникалық егжей-тегжейлі мәселелерді қарастыру қажет. Әдетте интервалдың сол жақ шегі қолданылады. Ито есебінің маңызды нәтижелері – интегралдау арқылы бөліктер формуласы және Ито леммасы, ол айнымалылардың формуласын өзгерту. Олар стандартты есептеу формулаларынан квадраттық өзгеріс мүшелеріне байланысты ерекшеленеді. Математикалық қаржыда интегралдың сипатталған бағалау стратегиясы біз алдымен не істеу керектігін шешіп, содан кейін бағалардың өзгеруін бақылаймыз деп түсіндіріледі. Интеграл – біз ұстап отырған акциялардың саны, интегратор – бағалардың қозғалысы, ал интеграл – біздің барлық ақшамыз, акциялардың құны да оның ішінде, кез келген сәтте. Акциялар мен басқа да сауда-саттық қаржы активтерінің бағаларын Браун қозғалысы немесе көбінесе геометриялық Браун қозғалысы (Блэк-Шоулзді қараңыз) сияқты стохастикалық процестер арқылы модельдеуге болады. Содан кейін Итоның стохастикалық интегралы t уақытында Ht мөлшерін ұстаудан тұратын үздіксіз уақыт сауда стратегиясының табысын білдіреді. Бұл жағдайда H-ның бейімделгендігі шарты сауда стратегиясының кез келген уақытта тек қолжетімді ақпаратты ғана пайдалана алатындығына байланысты қажетті шектеуге сәйкес келеді. Бұл нарықтағы әрбір өсім алдында акция сатып алу және әрбір төмендеу алдында сату арқылы шексіз пайда табу мүмкіндігін болдырмайды. Сол сияқты, H бейімделген деген шарт, Риман қосындысының лиміті ретінде есептелген кезде, стохастикалық интегралдың дивергенцияланбайтынын білдіреді.
Браун қозғалысына қатысты интеграция
Ито интегралы Риманн-Стильджес интегралына ұқсас түрде анықталуы мүмкін, яғни Риманн сомаларының ықтималдық лиміті ретінде; мұндай лимит міндетті түрде траектория бойынша жоқ. Егер B Винер процесі (Броун қозғалысы) болса және H оңға үздіксіз (càdlàg), бейімделген және жергілікті шектелген процесс болса, онда [0, t] аралығының бөлінісінің тізбегі болсын, оның торлы қадамы нөлге жақындасады. Сонда B-ға қатысты H-тың t уақытына дейінгі Ито интегралы – кездейсоқ шама болады.
It can be shown that this limit converges in probability. For some applications, such as martingale representation theorems and local times, the integral is needed for processes that are not continuous. The predictable processes form the smallest class that is closed under taking limits of sequences and contains all adapted left continuous processes. If H is any predictable process such that ∫0^(t) H^(2) ds < ∞ for every t ≥ 0 then the integral of H with respect to B can be defined, and H is said to be B integrable. Any such process can be approximated by a sequence Hn of left continuous, adapted and locally bounded processes, in the sense that
in probability. Then, the Itô integral is
where, again, the limit can be shown to converge in probability. The stochastic integral satisfies the Itô isometry
which holds when H is bounded or, more generally, when the integral on the right hand side is finite.
Бұл лимит ықтималдық бойынша жинақты екенін көрсетуге болады. Мартингейл өкілдік теоремалары және жергілікті уақыт сияқты кейбір қолданулар үшін интеграл үздіксіз емес процестер үшін қажет. Болжамды процестер – лимиттерді алу кезінде жабық болатын ең кіші класс, және ол барлық бейімделген солға үздіксіз процестерді қамтиды. Егер H кез келген болжамды процесс болса және әр t ≥ 0 үшін ∫0^(t) H^(2) ds < ∞ болса, онда H интегралы B-ға қатысты анықталады, және H B-интегралды деп аталады. Кез келген мұндай процесс солға үздіксіз, бейімделген және жергілікті шектелген процестердің Hn тізбегімен шамаланады, яғни ықтималдық бойынша. Содан кейін Ито интегралы мынадай болады, мұнда да лимит ықтималдық бойынша жинақты екенін көрсетуге болады. Стохастикалық интеграл Ито изометриясын қанағаттандырады:
It can be shown that this limit converges in probability. For some applications, such as martingale representation theorems and local times, the integral is needed for processes that are not continuous. The predictable processes form the smallest class that is closed under taking limits of sequences and contains all adapted left continuous processes. If H is any predictable process such that ∫0^(t) H^(2) ds < ∞ for every t ≥ 0 then the integral of H with respect to B can be defined, and H is said to be B integrable. Any such process can be approximated by a sequence Hn of left continuous, adapted and locally bounded processes, in the sense that
in probability. Then, the Itô integral is
where, again, the limit can be shown to converge in probability. The stochastic integral satisfies the Itô isometry
which holds when H is bounded or, more generally, when the integral on the right hand side is finite.
ол H шектелген кезде немесе, жалпы алғанда, оң жақтағы интеграл шекті болғанда қолданылады.
It can be shown that this limit converges in probability. For some applications, such as martingale representation theorems and local times, the integral is needed for processes that are not continuous. The predictable processes form the smallest class that is closed under taking limits of sequences and contains all adapted left continuous processes. If H is any predictable process such that ∫0^(t) H^(2) ds < ∞ for every t ≥ 0 then the integral of H with respect to B can be defined, and H is said to be B integrable. Any such process can be approximated by a sequence Hn of left continuous, adapted and locally bounded processes, in the sense that
in probability. Then, the Itô integral is
where, again, the limit can be shown to converge in probability. The stochastic integral satisfies the Itô isometry
which holds when H is bounded or, more generally, when the integral on the right hand side is finite.
Интегратор ретінде жартылай мартингальдар
Ито интегралы жартылай мартингал X-ке қатысты анықталады. Бұл процестерді X = M + A түрінде жіктеуге болады, мұнда M – жергілікті мартингал, ал A – шекті вариациялы процесс. Мұндай процестердің маңызды мысалдарына Браун қозғалысы (мартингал) және Леви процестері жатады. Сол жақтан үздіксіз, жергілікті шектелген және бейімделген H процесі үшін H · X интегралы бар, оны Риман қосындыларының лиміті ретінде есептеуге болады. πn – торлы жіктеулердің тізбегі болсын, оның қадамдары нөлге жуықтайды. Бұл лимит ықтималдық бойынша жинақталады. Сол жақтан үздіксіз процестердің стохастикалық интегралы стохастикалық есептеудің көп бөлігін зерттеу үшін жеткілікті. Мысалы, ол Ито леммасын қолдану, Гирсанов теоремасы арқылы шаманы өзгерту және стохастикалық дифференциалдық теңдеулерді зерттеу үшін жеткілікті. Дегенмен, ол мартингалдың бейнелеу теоремалары және жергілікті уақыт сияқты маңызды тақырыптар үшін жеткіліксіз. Интеграл барлық болжамды және жергілікті шектелген интегралдарға бірегей түрде таралады, осылайша үстемдік жинақталу теоремасы орындалады. Яғни, егер Hn → H және жергілікті шектелген J процесі үшін, онда ықтималдық бойынша. Сол жақтан үздіксізден болжамды интегралдарға дейінгі кеңеюдің бірегейлігі монотонды сынып леммасының салдары болып табылады. Жалпы, H · X стохастикалық интегралын тіпті болжамды H процесінің жергілікті шектелмеген жағдайларында да анықтауға болады. Егер K және KH шектелген болса. Стохастикалық интеграцияның ассоциативтілігі H, X-ке қатысты интегралданатынын білдіреді, яғни H · X = Y, тек қана Y0 = 0 және K · Y = (KH) · X болған жағдайда ғана. X-ке қатысты интегралданатын процестердің жиынтығы L(X) арқылы белгіленеді.
This limit converges in probability. The stochastic integral of left continuous processes is general enough for studying much of stochastic calculus. For example, it is sufficient for applications of Itô's Lemma, changes of measure via Girsanov's theorem, and for the study of stochastic differential equations. However, it is inadequate for other important topics such as martingale representation theorems and local times. The integral extends to all predictable and locally bounded integrands, in a unique way, such that the dominated convergence theorem holds. That is, if Hn → H and for a locally bounded process J, then
in probability. The uniqueness of the extension from left continuous to predictable integrands is a result of the monotone class lemma. In general, the stochastic integral H · X can be defined even in cases where the predictable process H is not locally bounded. If then K and KH are bounded. Associativity of stochastic integration implies that H is X integrable, with integral 1=H · X = Y, if and only if 1=Y0 = 0 and 1=K · Y = (KH) · X. The set of X integrable processes is denoted by L(X).
Бөлімшелер бойынша интеграциялау
Кәдімгі есептеудегідей, интеграциялаудың бөліктері стохастикалық есептеуде де маңызды нәтиже болып табылады. Ито интегралы үшін интеграциялаудың бөліктері формуласы стандартты нәтижеден квадраттық ковариация мүшесінің қосылуына байланысты ерекшеленеді. Бұл мүше Ито есептеуі нөлдік емес квадраттық өзгеріске ие процестермен жұмыс істейтіндігінен туындайды, бұл тек шексіз өзгеріске ие процестерде (мысалы, Браун қозғалысы) ғана кездеседі. Егер X және Y жартылай мартингалдар болса, онда
мұнда [X, Y] – квадраттық ковариация процесі. Нәтиже Риманн-Стильджес интегралы үшін интеграциялаудың бөліктері теоремасына ұқсас, бірақ қосымша квадраттық өзгеріс мүшесі бар.
Итоның леммасы
Ито леммасы — Ито интегралына қатысты тізбек ережесінің немесе айнымалыларды өзгерту формуласының нұсқасы. Бұл стохастикалық есептеудегі ең қуатты және жиі қолданылатын теоремалардың бірі. Үздіксіз n өлшемді жартылай мартингал 1=X = (X^(1), …,X^(n)) және 'R'^(n) -дан 'R' -ге дейін екі рет үздіксіз дифференциалданатын f функциясы үшін, f(X) жартылай мартингал болып табылады және,
Бұл стандартты есептеуде қолданылатын тізбек ережесінен [X^(i),X^(j)] квадраттық ковариациясын қамтитын мүшесінің есебінен өзгеше. Формула уақытқа тәуелділікті қосу және басқа жолдармен де жалпылауға болады (Ито леммасына қараңыз).
Жергілікті мартингальдар
Ито интегралының маңызды қасиеті – ол жергілікті мартингаль қасиетін сақтайды. Егер M жергілікті мартингейл болса және H жергілікті шектелген болжамды процесс болса, онда H · M де жергілікті мартингаль болады. Жергілікті шектелмеген интеграндар үшін H · M жергілікті мартингаль емес мысалдар бар. Алайда, мұндай жағдай тек M үздіксіз болмаған кезде ғана туындауы мүмкін. Егер M үздіксіз жергілікті мартингейл болса, онда болжамды процесс H, M-ге интегралданады, егер және тек қана әр t үшін, және H · M әрқашан жергілікті мартингаль болады. Үздіксіз емес жергілікті мартингаль M үшін ең жалпы айғақ: егер (H^(2) · [M])^(1/2) жергілікті интегралданатын болса, онда H · M бар және ол жергілікті мартингаль болады.
for each t, and H · M is always a local martingale. The most general statement for a discontinuous local martingale M is that if (H^(2) · [M])^(1/2) is locally integrable then H · M exists and is a local martingale.
Квадратты интеграцияланатын мартингальдар
Шектелген интеграндар үшін Итоның стохастикалық интегралы квадратты интегралданатын мартингальдер кеңістігін сақтайды, яғни E[Mt^(2)] барлық t үшін шекті. Кез келген осындай квадратты интегралданатын мартингаль M үшін квадраттық вариация процесі [M] интегралданады, және Ито изометриясы былай тұжырымдалады:
Бұл теңдік жалпырақ жағдайда кез келген мартингаль M үшін де орынды, егер H^(2) · [M]t интегралданатын болса. Ито изометриясы жиі стохастикалық интегралды құрудың маңызды қадамы ретінде қолданылады, H · M-ді белгілі бір қарапайым интеграндар класынан барлық шектелген және болжамды процестерге дейінгі бірегей кеңейтім ретінде анықтау арқылы.
Ито есептеуіндегі дифференциация
Ито есептеуі ең алдымен жоғарыда сипатталғандай интегралды есептеу ретінде анықталады. Дегенмен, Браун қозғалысына қатысты "туынды" ұғымының да түрлі нұсқалары бар:
Мальявин туындысы
Мальявин калькулы Вьенер кеңістігінде анықталған кездейсоқ шамалар үшін дифференциалдау теориясын және интегралдаудың бөліктеп жасау формуласын қамтамасыз етеді.