Введение

Калькулус стохастических дифференциальных уравнений

Калькулус Ито, названный в честь Киёси Ито, расширяет методы математического анализа на стохастические процессы, такие как броуновское движение (см. процесс Винера). Он имеет важное применение в математических финансах и стохастических дифференциальных уравнениях. Центральным понятием является стохастический интеграл Ито, стохастическое обобщение интеграла Римана — Стильтьеса в анализе. Интегрируемые функции и интеграторы теперь являются стохастическими процессами:

где H — локально квадратично интегрируемый процесс, адаптированный к фильтрации, порожденной X, который является броуновским движением или, в более общем случае, полумартингалом. Результатом интегрирования является другой стохастический процесс. В частности, интеграл от 0 до любого конкретного t является случайной величиной, определяемой как предел определенной последовательности случайных величин. Траектории броуновского движения не удовлетворяют требованиям, необходимым для применения стандартных методов математического анализа. Таким образом, при интегрировании стохастического процесса стохастический интеграл Ито сводится к интегралу по функции, которая не дифференцируема ни в одной точке и имеет бесконечную вариацию на любом временном интервале. Основная идея заключается в том, что интеграл может быть определен, пока интегрируемая функция H адаптирована, что, грубо говоря, означает, что ее значение в момент времени t может зависеть только от информации, доступной к этому времени. Приблизительно, выбирается последовательность разбиений интервала от 0 до t и строятся суммы Римана. Каждый раз, когда мы вычисляем сумму Римана, мы используем конкретную реализацию интегратора. Важно, какая точка в каждом из малых интервалов используется для вычисления значения функции. Затем предел берется в вероятностном смысле, когда шаг разбиения стремится к нулю. Необходимо учесть множество технических деталей, чтобы показать, что этот предел существует и не зависит от конкретной последовательности разбиений. Обычно используется левая конечная точка интервала. Важными результатами калькулуса Ито являются формула интегрирования по частям и лемма Ито, которая является формулой замены переменных. Они отличаются от формул стандартного математического анализа из-за членов, связанных с квадратичной вариацией. В математических финансах описанная стратегия вычисления интеграла концептуализируется как принятие решения о действиях, а затем наблюдение за изменением цен. Интегрируемая функция представляет собой количество акций, которыми мы владеем, интегратор представляет собой изменение цен, а интеграл — общую сумму денег, включая стоимость наших акций в любой момент времени. Цены на акции и другие торгуемые финансовые активы могут быть смоделированы стохастическими процессами, такими как броуновское движение или, чаще, геометрическое броуновское движение (см. Black — Scholes). Тогда стохастический интеграл Ито представляет собой доход от непрерывной торговой стратегии, заключающейся в удержании количества Ht акций в момент t. В этой ситуации условие адаптированности H соответствует необходимому ограничению, что торговая стратегия может использовать только доступную информацию в любой момент времени. Это предотвращает возможность неограниченной прибыли за счет предвидения: покупки акций непосредственно перед каждым ростом рынка и продажи перед каждым падением. Аналогично, условие адаптированности H подразумевает, что стохастический интеграл не будет расходиться при вычислении в качестве предела сумм Римана.

Интеграция относительно движения Брауна

Интеграл Ито может быть определен аналогично интегралу Римана — Стильтьеса, то есть как предел в вероятности сумм Римана; такой предел не обязательно существует поточечно. Пусть B — процесс Винера (броуновское движение), а H — правонепрерывный (càdlàg), адаптированный и локально ограниченный процесс. Если — последовательность разбиений отрезка с шириной ячейки, стремящейся к нулю, то интеграл Ито от H по B до момента времени t является случайной величиной.

Можно показать, что этот предел сходится в вероятности. Для некоторых приложений, таких как теоремы о представлении мартингалов и локальное время, интеграл необходим для процессов, которые не являются непрерывными. Прогнозируемые процессы образуют наименьший класс, замкнутый относительно взятия пределов последовательностей и содержащий все адаптированные левонепрерывные процессы. Если H — любой прогнозируемый процесс, такой что ∫0^(t) H^(2) ds < ∞ для всех t ≥ 0, то интеграл от H по B может быть определен, и говорят, что H интегрируем по B. Любой такой процесс может быть приближен последовательностью Hn левонепрерывных, адаптированных и локально ограниченных процессов в том смысле, что

в вероятности. Тогда интеграл Ито равен

где, опять же, можно показать, что предел сходится в вероятности. Стохастический интеграл удовлетворяет изометрии Ито

которая выполняется, когда H ограничена или, в более общем случае, когда интеграл в правой части конечен.

Семимартингалы как интеграторы

Интеграл Ито определяется относительно полумартингала X. Это процессы, которые можно разложить как X = M + A, где M — локальный мартингал, а A — процесс с конечной вариацией. Важными примерами таких процессов являются движение Брауна, являющееся мартингалом, и процессы Леви. Для левонепрерывного, локально ограниченного и адаптированного процесса H интеграл H · X существует и может быть вычислен как предел сумм Римана. Пусть πn — последовательность разбиений с шагом, стремящимся к нулю. Этот предел сходится по вероятности. Стохастический интеграл левонепрерывных процессов достаточно универсален для изучения большей части стохастического исчисления. Например, его достаточно для применения леммы Ито, смены меры посредством теоремы Гирсанова и изучения стохастических дифференциальных уравнений. Однако он недостаточен для других важных тем, таких как теоремы о представлении мартингалов и локальное время. Интеграл расширяется на все предсказуемые и локально ограниченные подынтегральные функции единственным образом, так что выполняется теорема о доминирующей сходимости. То есть, если Hn → H и для локально ограниченного процесса J, то в вероятности. Единственность расширения с левонепрерывных на предсказуемые подынтегральные функции является следствием леммы монотонного класса. В общем случае, стохастический интеграл H · X может быть определен даже в тех случаях, когда предсказуемый процесс H не локально ограничен. Если тогда K и KH ограничены. Ассоциативность стохастического интегрирования подразумевает, что H является X-интегрируемым, с интегралом H · X = Y, если и только если Y0 = 0 и K · Y = (KH) · X. Множество X-интегрируемых процессов обозначается L(X).

Интеграция по частям

Как и в обычном математическом анализе, интегрирование по частям является важным результатом в стохастическом исчислении. Формула интегрирования по частям для интеграла Ито отличается от стандартной формулы из-за включения члена квадратичной ковариации. Этот член возникает из-за того, что стохастическое исчисление Ито имеет дело с процессами, обладающими ненулевой квадратичной вариацией, что возможно только для процессов с бесконечной вариацией (таких как броуновское движение). Если X и Y – полумартингалы, то

где [X, Y] – процесс квадратичной ковариации. Этот результат аналогичен теореме об интегрировании по частям для интеграла Римана — Стильтьеса, но содержит дополнительный член квадратичной вариации.

Это лемма.

Лемма Ито — это версия правила цепочки или формулы замены переменных, применительная к интегралу Ито. Это одна из самых мощных и часто используемых теорем в стохастическом исчислении. Для непрерывной n-мерной полумартингалы X = (X^(1), …, X^(n)) и дважды непрерывно дифференцируемой функции f из R^(n) в R, она утверждает, что f(X) является полумартингалой и,

Это отличается от правила цепочки, используемого в стандартном математическом анализе, из-за члена, включающего квадратическую ковариацию [X^(i), X^(j)]. Формулу можно обобщить, включив в нее явную временную зависимость и другими способами (см. Лемму Ито).

Местные мартингалы

Важным свойством интеграла Ито является то, что он сохраняет свойство локального мартингала. Если M – локальный мартингал, а H – локально ограниченный предсказуемый процесс, то H · M также является локальным мартингалом. Для интегрантов, которые не локально ограничены, существуют примеры, когда H · M не является локальным мартингалом. Однако это может произойти только в случае, если M не является непрерывным. Если M – непрерывный локальный мартингал, то предсказуемый процесс H является M-интегрируемым тогда и только тогда, когда для каждого t, и H · M всегда является локальным мартингалом. Наиболее общим утверждением для разрывного локального мартингала M является то, что если (H² · [M])^(1/2) локально интегрируем, то H · M существует и является локальным мартингалом.

Квадратные интегральные мартингалы

Для ограниченных подынтегральных функций стохастический интеграл Ито сохраняет пространство квадратично интегрируемых мартингалов, которое представляет собой множество мартингалов M, таких что E[|Mt|^2] конечно для всех t. Для любого такого квадратично интегрируемого мартингала M, процесс квадратичной вариации [M] интегрируем, и изометрия Ито утверждает, что

Это равенство выполняется в более общем случае для любого мартингала M, такого что H^(2) · [M]t интегрируем. Изометрия Ито часто используется как важный шаг в построении стохастического интеграла, определяя H · M как единственное расширение этой изометрии с определенного класса простых подынтегральных функций на все ограниченные и предсказуемые процессы.

Дифференциация в исчислении Ито

Ито-исчисление прежде всего определяется как интегральное исчисление, как описано выше. Однако существуют и различные понятия "производной" по движению Брауна:

Мальявин

Мальявинский анализ предоставляет теорию дифференцирования случайных величин, определенных на пространстве Винера, включая формулу интегрирования по частям.