Кіріспе
Математикалық операция
Математикада екі жақты Лаплас түрлендірмесі – ықтималдық теориясының момент тудыратын функциясына эквивалентті интеграл түрлендірмесі. Екі жақты Лаплас түрлендірмесі Фурье түрлендірмесімен, Меллин түрлендірмесімен, Z түрлендірмесімен және қарапайым немесе бір жақты Лаплас түрлендірмесімен тығыз байланысты. Егер f(t) функциясы нақты немесе комплекс сандық мәні бар, t нақты айнымалысы бойынша анықталған және барлық нақты сандар үшін белгілі болса, онда екі жақты Лаплас түрлендірмесі интеграл арқылы анықталады:
Бұл интеграл көбінесе бұрыс интеграл ретінде қарастырылады, ол тек егер келесі екі интегралдың да мәні болса ғана жинақталады:
Екі жақты түрлендірме үшін жалпы қабылданған белгілеу жоқ сияқты; мұнда қолданылған белгілеу "екі жақтылықты" еске түсіреді. Кейбір авторлар қолданатын екі жақты түрлендірме:
used here recalls "bilateral". The two sided transform
used by some authors is
Таза математикада t аргументі кез келген айнымалы бола алады, ал Лаплас түрлендірмесі дифференциалды операторлардың функцияны қалай түрлендіретінін зерттеу үшін қолданылады. Ғылым және инженерия салаларында t аргументі көбінесе уақытты (секундтарда) білдіреді, ал f(t) функциясы уақытқа байланысты өзгеретін сигналды немесе толқынды білдіреді. Мұндай жағдайларда сигналдар сүзгілер арқылы түрлендіріледі, олар математикалық операторлар сияқты жұмыс істейді, бірақ шектеулері бар. Олар себептік болуы керек, яғни белгілі бір уақыт мезетіндегі (t) шығыс, t-нің үлкен мәніне тәуелді болмауы тиіс. Популяциялық экологияда t аргументі көбінесе таралу ядросындағы кеңістіктік орын ауыстыруды білдіреді. Уақыт функцияларымен жұмыс істегенде f(t) функциясы сигналдың уақыт доменіндегі бейнесі деп аталады, ал F(s) функциясы s доменіндегі (немесе Лаплас доменіндегі) бейнесі деп аталады. Кері түрлендіру сигналдың жиілік компоненттерінің қосындысы ретінде синтезін, барлық жиіліктер бойынша есептеуді білдіреді, ал алға бағытталған түрлендіру сигналды жиілік компоненттеріне талдауды білдіреді.
In population ecology, the argument t often represents spatial displacement in a dispersal kernel. When working with functions of time, f(t) is called the time domain representation of the signal, while F(s) is called the s domain (or Laplace domain) representation. The inverse transformation then represents a synthesis of the signal as the sum of its frequency components taken over all frequencies, whereas the forward transformation represents the analysis of the signal into its frequency components.
Бірегейлігі
Кез келген екі функция үшін екі жақты Лаплас трансформациясы бар болса, яғни, әрбір мән үшін , онда дерлік барлық жерде .
Себеп-салдарлық байланысы
Екі жақты түрлендірулер себеп-салдар қатынасын сақтамайды. Олар жалпы функцияларға қолданғанда түсінікті, бірақ уақыт функцияларымен (сигналдармен) жұмыс істегенде бір жақты түрлендірулер көбірек қолданылады.