Введение
Математическая операция
В математике двусторонняя трансформация Лапласа, или билатеральная трансформация Лапласа, – это интегральная трансформация, эквивалентная производящей функции момента вероятности. Двусторонние преобразования Лапласа тесно связаны с преобразованием Фурье, преобразованием Меллина, Z-преобразованием и обычным, или односторонним, преобразованием Лапласа. Если f(t) – это функция действительной или комплексной переменной t, определенная для всех действительных чисел, то двусторонняя трансформация Лапласа определяется интегралом
Этот интеграл чаще всего рассматривается как несобственный интеграл, который сходится тогда и только тогда, когда оба интеграла
существуют. Кажется, нет общепринятого обозначения для двустороннего преобразования; используемое здесь напоминает обозначение "билатеральное". Двустороннее преобразование, используемое некоторыми авторами, имеет вид
used here recalls "bilateral". The two sided transform
used by some authors is
В чистой математике аргумент t может быть любой переменной, а преобразования Лапласа используются для изучения того, как дифференциальные операторы преобразуют функцию. В научных и инженерных приложениях аргумент t часто представляет время (в секундах), а функция f(t) часто представляет сигнал или форму сигнала, изменяющуюся во времени. В этих случаях сигналы преобразуются фильтрами, которые работают как математический оператор, но с ограничением: они должны быть причинными, то есть выход в заданный момент времени t не может зависеть от выхода, соответствующего большему значению t. В популяционной экологии аргумент t часто представляет пространственное смещение в ядре рассеяния. При работе с функциями времени f(t) называют представлением сигнала в временной области, а F(s) – представлением в s-области (или области Лапласа). Обратное преобразование представляет собой синтез сигнала как сумму его частотных компонент, взятых по всем частотам, в то время как прямое преобразование представляет собой анализ сигнала на его частотные компоненты.
In population ecology, the argument t often represents spatial displacement in a dispersal kernel. When working with functions of time, f(t) is called the time domain representation of the signal, while F(s) is called the s domain (or Laplace domain) representation. The inverse transformation then represents a synthesis of the signal as the sum of its frequency components taken over all frequencies, whereas the forward transformation represents the analysis of the signal into its frequency components.
Уникальность
Для любых двух функций, для которых существуют двусторонние преобразования Лапласа, если, то есть для каждого значения t, то почти всюду.
Причинно-следственная связь
Двусторонние преобразования не учитывают причинность. Они целесообразны при применении к функциям общего вида, но при работе с функциями времени (сигналами) предпочтительнее использовать односторонние преобразования.