Екі тартылыс орталығының әсерімен бөлшектің қозғалысын шешу

Кіріспе

Физика мен астрономияда Эйлердің үш денелік мәселесі – кеңістікте бекітілген екі нүктелік массаның гравитациялық өрісінде әрекет ететін бөлшектің қозғалысын шешуге арналған. Бұл мәселе дәл шешіледі және пролаттық және облаттық сфераидтардың гравитациялық өрістерінде қозғалатын бөлшектер үшін жуықтап шешім береді. Бұл мәселе 1760 жылы жарияланған еңбектерінде талқылаған Леонард Эйлердің есімімен аталады. Кейіннен Лагранж, Лиувилл, Лаплас, Якоби, Ле Веррье, Гамильтон, Пуанкаре, Биркгофф және басқалар маңызды кеңейтулер мен талдаулар жасады. Эйлер мәселесі бөлшектің басқа кері квадраттық орталық күштермен әрекеттесетін жағдайын да қамтиды, мысалы, Кулон заңымен сипатталған электростатикалық өзара әрекеттесу. Эйлер мәселесінің классикалық шешімдері химиялық байланыстарды зерттеу үшін қолданылды, екі атом ядросының өрісінде қозғалатын бір электронның энергия деңгейінің жартылай классикалық жуықтамасын пайдалану арқылы, мысалы, HeH2+ диотомдық ионы. Бұл алғаш рет Вольфганг Паули докторлық диссертациясында Арнольд Зоммерфельдтің жетекшілігімен молекулалық сутегінің бірінші ионы, атап айтқанда, сутегі молекулалық ионы H2+ зерттеуімен жасалды. Бұл энергия деңгейлерін Эйнштейн-Бриллуин-Келлер әдісін қолдану арқылы жеткілікті дәлдікпен есептеуге болады, бұл сонымен қатар атомдық сутегінің Бор моделінің негізін құрайды. Жақында, кванттық механикалық нұсқасында түсіндірілгендей, өзіндік мәндерге (энергияларға) аналитикалық шешімдер алынды: олар Ламберт W функциясының жалпылауы болып табылады. Толық үш өлшемді жағдайда нақты шешім Вейерштрасс эллипстік функциялары арқылы өрнектеледі. Қолайлылық үшін мәселені сандық әдістермен, мысалы, қозғалыс теңдеулерінің Рунге-Кутта интеграциясы арқылы шешуге болады. Қозғалатын бөлшектің жалпы энергиясы сақталады, бірақ оның сызықтық және бұрыштық импульсі сақталмайды, өйткені екі бекітілген орталық таза күш пен момент түсіре алады. Дегенмен, бөлшектің екінші сақталатын шамасы бар, ол бұрыштық импульске немесе Лаплас-Рунге-Ленц векторының шектік жағдайларына сәйкес келеді. Эйлердің үш денелік мәселесі екі бекітілген орталықтың мәселесі, Эйлер-Жакоби мәселесі және екі орталықтық Кеплер мәселесі сияқты әртүрлі атаулармен белгілі. Эйлер мәселесінің әртүрлі жалпыламалары белгілі; бұл жалпыламалар сызықтық және кері кубикалық күштерді және бес күш орталығын қосады. Бұл жалпыланған мәселелердің ерекше жағдайларына Дарбукс мәселесі және Вельде мәселесі жатады.

Solve for a particle's motion that is acted on by the gravitational field of two other point masses
In physics and astronomy, Euler's three body problem is to solve for the motion of a particle that is acted upon by the gravitational field of two other point masses that are fixed in space. This problem is exactly solvable, and yields an approximate solution for particles moving in the gravitational fields of prolate and oblate spheroids. This problem is named after Leonhard Euler, who discussed it in memoirs published in 1760. Important extensions and analyses were contributed subsequently by Lagrange, Liouville, Laplace, Jacobi, Le Verrier, Hamilton, Poincaré, Birkhoff among others. Euler's problem also covers the case when the particle is acted upon by other inverse square central forces, such as the electrostatic interaction described by Coulomb's law. The classical solutions of the Euler problem have been used to study chemical bonding, using a semiclassical approximation of the energy levels of a single electron moving in the field of two atomic nuclei, such as the diatomic ion HeH2+. This was first done by Wolfgang Pauli in his doctoral dissertation under Arnold Sommerfeld, a study of the first ion of molecular hydrogen, namely the hydrogen molecule ion H2+. These energy levels can be calculated with reasonable accuracy using the Einstein–Brillouin–Keller method, which is also the basis of the Bohr model of atomic hydrogen. More recently, as explained further in the quantum mechanical version, analytical solutions to the eigenvalues (energies) have been obtained: these are a generalization of the Lambert W function. The exact solution, in the full three dimensional case, can be expressed in terms of Weierstrass's elliptic functions For convenience, the problem may also be solved by numerical methods, such as Runge–Kutta integration of the equations of motion. The total energy of the moving particle is conserved, but its linear and angular momentum are not, since the two fixed centers can apply a net force and torque. Nevertheless, the particle has a second conserved quantity that corresponds to the angular momentum or to the Laplace–Runge–Lenz vector as limiting cases. The Euler three body problem is known by a variety of names, such as the problem of two fixed centers, the Euler–Jacobi problem, and the two center Kepler problem. Various generalizations of Euler's problem are known; these generalizations add linear and inverse cubic forces and up to five centers of force. Special cases of these generalized problems include Darboux's problem and Velde's problem.

Жалпы түсінік және тарих

Эйлердің үш денелік проблемасы – Ньютонның гравитациясы немесе Кулон заңы сияқты, қашықтық артқан сайын төмендейтін орталық күштермен тартылатын екі орталықтың әсерінен бөлшектің қозғалысын сипаттау. Эйлер проблемасының мысалдарына сутегі молекуласы ионы H2+ сияқты екі ядроның электр өрісінде қозғалатын электрон жатады. Екі кері квадрат күшінің шамасы бірдей болуы міндетті емес; мысалы, екі ядроның әртүрлі заряды болуы мүмкін, мысалы, молекулалық ион HeH2+. Эйлердің үш денелік проблемасында екі тартылыс орталығының қозғалмайтыны деп есептейміз. Бұл H2+ сияқты жағдайда толық дұрыс емес, бірақ протондар электрондарға қарағанда әлдеқайда аз үдеуге ұшырайды. Дегенмен, Эйлердің үш денелік проблемасы екі жұлдыздың гравитациялық өрісінде қозғалатын планетаға қатысты емес, себебі мұндай жағдайда кем дегенде бір жұлдыз планета сезінетіндей үдеуге ұшырайды. Бұл мәселені алғаш рет 1760 жылы Леонхард Эйлер қарастырды және оған дәл шешім тапты. Жозеф Луи Лагранж орталықтар сызықтық және кері квадраттық күштерді қолданатын жалпыланған мәселені шешті. Карл Густав Якоб Якоби бөлшектің екі тұрақты орталықтың осі бойынша айналуын бөліп алып, жалпы үш өлшемді мәселені жазықтық мәселесіне дейін тоғытуға болатынын көрсетті. 2008 жылы Бирхаузер "Аспан механикасындағы интеграцияланатын жүйелер" атты кітап жариялады. Бұл кітапта ирланд математигі Диармуид О Матуна екі тұрақты орталық мәселесі мен үш өлшемді мәселенің жабық түрдегі шешімдерін ұсынады.

Қозғалыс тұрақтылары

Екі тұрақты орталықтың мәселесі энергияны сақтайды; яғни, жалпы энергия – қозғалыс тұрақтысы. Потенциалдық энергия мына формуламен беріледі:

мұнда – бөлшектің позициясын, ал – бөлшек пен күш орталықтары арасындағы қашықтықтарды білдіреді; және – бірінші және екінші күштердің күшін өлшейтін тұрақтылар. Жалпы энергия осы потенциалдық энергияның және бөлшектің кинетикалық энергиясының қосындысына тең:

мұнда – бөлшектің массасы және – сызықтық импульсі. Эйлер мәселесінде бөлшектің сызықтық және бұрыштық импульсі сақталмайды, себебі екі күш орталығы бөлшекке сыртқы күштер ретінде әсер етеді, бұл бөлшекке нәтижелік күш пен момент тудыруы мүмкін. Дегенмен, Эйлер мәселесінің екінші қозғалыс тұрақтысы бар:

мұнда – екі күш орталығының арақашықтығы, ал – бөлшекті күш орталықтарына жалғайтын түзулердің бұрыштары, орталықтарды жалғайтын түзуге қатысты. Бұл екінші қозғалыс тұрақтысын Э.Т. Уиттакер аналитикалық механика бойынша жұмысында анықтады және 1967 жылы Coulson және Joseph оны көп өлшемділікке (dimensions) жалпылады. Coulson–Joseph түрінде қозғалыс тұрақтысы мына түрде жазылады:

мұнда – тартымды орталықтар орналасқан ось бойымен импульс компонентін білдіреді. Бұл қозғалыс тұрақтысы екі күш орталығы бір нүктеге жақын келгендегі шектегі жалпы бұрыштық импульстің квадратына сәйкес келеді және орталықтардың бірі шексіздікке кеткендегі шектегі Лаплас–Рунге–Ленц векторына пропорционалды (ал қалғандары шекті болып қалады).

Кванттық механикалық нұсқасы

Кванттық механикадағы үш денелік проблеманың ерекше жағдайы – сутегі молекуласының ионы, H2+. Үш дененің екеуі ядро, ал үшіншісі – жоғары жылдамдықта қозғалатын электрон. Екі ядро электроннан 1800 есе ауыр, сондықтан олар бекітілген орталықтар ретінде қарастырылады. Шредингер толқын теңдеуі пролат сфералық координаттарда бөлінеді және энергияның өзіндік мәні мен бөліну тұрақтысы арқылы байланысқан екі қарапайым дифференциалдық теңдеуге ажыратылады. Бірақ, шешімдерге базалық жиынтықтардан қатарлық кеңейтулер қажет болды. Дегенмен, эксперименталды математика арқылы энергияның өзіндік мәні Ламберт W функциясының математикалық жалпыламасы екені анықталды (Ламберт W функциясы және оған сілтемелерді қараңыз). Ядролары бекітілген сутегі молекулалық ионы компьютерлік алгебра жүйесінде толыққанды есептеледі. Оның шешімі имплицитті функция болып табылуы өзіндік мәні бар. Теориялық физиканың жетістіктерінің бірі – тек математикалық өңдеуге ғана бейімделуі емес, сонымен қатар алгебралық теңдеулерді символдық түрде өңдеу арқылы аналитикалық, әсіресе жабық түрдегі шешім табу мүмкіндігі. Үш денелік проблеманың осы ерекше жағдайы үшін алынған шешім кванттық үш денелік және көп денелік проблемаларға аналитикалық шешімдер табу мүмкіндіктерін көрсетеді.

Жалпылау

Эйлердің үш денелік проблемасының шешілетін жалпыламасын 1911 жылы Адам Хилтебейтель толыққанды талдаудан өткізді. Эйлердің үш денелік проблемасының ең қарапайым жалпыламасы – бастапқы екі күш орталығының арасында орналасқан, тек сызықты Хук күшін ғана қолданатын үшінші күш орталығын қосу болып табылады. Келесі жалпылама – кері квадраттық күш заңдарын қашықтықпен сызықтық өсетін күшпен толықтыру. Жалпыламалардың соңғы жиынтығы – қиял сандар болып табылатын екі тұрақты күш орталығын қосу, сондай-ақ қиял орталықтары осіне параллель және осы осінен қашықтықтың кері кубына пропорционал күштермен қатар сызықтық және кері квадраттық заңдарды қолдану. Бастапқы Эйлер проблемасының шешімі – пролатты дененің (бір бағытта созылған сфера, мысалы, сигар пішіндес) гравитациялық өрісіндегі бөлшектің қозғалысы үшін жуықталған шешім болып табылады. Көлбеу сфераның (бір бағытта қысылған сфера) өрісінде қозғалатын бөлшектің тиісті жуықталған шешімі екі күш орталығының орналасуын қиял сандарға түрлендіру арқылы алынады. Астрономиялық маңызы жағынан көлбеу сфера шешімі жоғарырақ, себебі планеталардың, жұлдыздардың және галактикалардың көпшілігі шамамен көлбеу сфера пішіндес, ал пролатты сфералар өте сирек кездеседі. Жалпы салыстырмалылық теориясындағы көлбеу сфераның аналогы – Керр қара тесігі. Бұл объектінің айналасындағы геодезиялар интегралданады, себебі төртінші тұрақты қозғалыс бар (энергия, бұрыштық импульс және төрт импульстің модулінен басқа), ол Картер тұрақтысы деп аталады. Эйлердің үш денелік проблемасы мен Керр қара тесігі бірдей массалық моменттерге ие, бұл соңғысының метрикасы Керр-Шильд координаттарында жазылғанда ең анық көрінеді. Сызықты Хук мүшесімен толықтырылған көлбеу сфераның аналогы – Керр-де Ситтер қара тесігі. Гук заңындағыдай, космологиялық тұрақты мүшесі шығу тегінен қашықтыққа сызықтық түрде тәуелді, ал Керр-де Ситтер кеңістік-уақыты да импульстардың квадратына пропорционал Картер типіндегі тұрақтыға ие.

An exhaustive analysis of the soluble generalizations of Euler's three body problem was carried out by Adam Hiltebeitel in 1911. The simplest generalization of Euler's three body problem is to add a third center of force midway between the original two centers, that exerts only a linear Hooke force. The next generalization is to augment the inverse square force laws with a force that increases linearly with distance. The final set of generalizations is to add two fixed centers of force at positions that are imaginary numbers, with forces that are both linear and inverse square laws, together with a force parallel to the axis of imaginary centers and varying as the inverse cube of the distance to that axis. The solution to the original Euler problem is an approximate solution for the motion of a particle in the gravitational field of a prolate body, i. e., a sphere that has been elongated in one direction, such as a cigar shape. The corresponding approximate solution for a particle moving in the field of an oblate spheroid (a sphere squashed in one direction) is obtained by making the positions of the two centers of force into imaginary numbers. The oblate spheroid solution is astronomically more important, since most planets, stars and galaxies are approximately oblate spheroids; prolate spheroids are very rare. The analogue of the oblate case in general relativity is a Kerr black hole. The geodesics around this object are known to be integrable, owing to the existence of a fourth constant of motion (in addition to energy, angular momentum, and the magnitude of four momentum), known as the Carter constant. Euler's oblate three body problem and a Kerr black hole share the same mass moments, and this is most apparent if the metric for the latter is written in Kerr–Schild coordinates. The analogue of the oblate case augmented with a linear Hooke term is a Kerr–de Sitter black hole. As in Hooke's law, the cosmological constant term depends linearly on distance from the origin, and the Kerr–de Sitter spacetime also admits a Carter type constant quadratic in the momenta.