Задача трёх тел Эйлера: Движение частицы в поле двух центров

Введение

Решение задачи движения частицы, на которую действует гравитационное поле двух других точечных масс. В физике и астрономии задача трех тел Эйлера заключается в определении движения частицы, подверженной гравитационному воздействию двух других точечных масс, неподвижно закрепленных в пространстве. Эта задача имеет точное решение и позволяет получить приближенное решение для частиц, движущихся в гравитационных полях вытянутых и сплюснутых сфероидов. Задача названа в честь Леонарда Эйлера, который рассматривал ее в мемуарах, опубликованных в 1760 году. Важные расширения и анализы впоследствии были предложены Лагранжем, Лиувилем, Лапласом, Якоби, Ле Верье, Гамильтоном, Пуанкаре, Биркгоффом и другими. Проблема Эйлера также охватывает случаи, когда на частицу действуют другие центральные силы, обратно пропорциональные квадрату расстояния, такие как электростатическое взаимодействие, описываемое законом Кулона. Классические решения проблемы Эйлера использовались для изучения химической связи, применяя полуклассическое приближение к энергетическим уровням одного электрона, движущегося в поле двух атомных ядер, например, двухатомного иона HeH2+. Впервые это сделал Вольфганг Паули в своей докторской диссертации под руководством Арнольда Зоммерфельда, посвященной исследованию первого иона молекулярного водорода, то есть иона молекулы водорода H2+. Эти энергетические уровни можно вычислить с разумной точностью, используя метод Эйнштейна — Бриллюэна — Келлера, который также является основой модели Бора атома водорода. В последнее время, как подробно объясняется в квантовомеханической версии, получены аналитические решения для собственных значений (энергий): это обобщение функции Ламберта W. Точное решение в полном трехмерном случае может быть выражено через эллиптические функции Вейерштрасса. Для удобства задачу можно также решать численными методами, такими как интегрирование уравнений движения методом Рунге — Кутты. Полная энергия движущейся частицы сохраняется, но ее линейный и угловой моменты — нет, поскольку два фиксированных центра могут создавать результирующую силу и момент силы. Тем не менее, частица обладает второй сохраняющейся величиной, соответствующей угловому моменту или вектору Лапласа — Рунге — Ленца в предельных случаях. Задача трех тел Эйлера известна под различными названиями, такими как задача двух фиксированных центров, проблема Эйлера — Якоби и двухцентровая задача Кеплера. Существуют различные обобщения проблемы Эйлера, которые добавляют линейные и обратные кубические силы, а также до пяти центров силы. Особые случаи этих обобщенных задач включают проблему Дарбу и проблему Вельде.

Solve for a particle's motion that is acted on by the gravitational field of two other point masses
In physics and astronomy, Euler's three body problem is to solve for the motion of a particle that is acted upon by the gravitational field of two other point masses that are fixed in space. This problem is exactly solvable, and yields an approximate solution for particles moving in the gravitational fields of prolate and oblate spheroids. This problem is named after Leonhard Euler, who discussed it in memoirs published in 1760. Important extensions and analyses were contributed subsequently by Lagrange, Liouville, Laplace, Jacobi, Le Verrier, Hamilton, Poincaré, Birkhoff among others. Euler's problem also covers the case when the particle is acted upon by other inverse square central forces, such as the electrostatic interaction described by Coulomb's law. The classical solutions of the Euler problem have been used to study chemical bonding, using a semiclassical approximation of the energy levels of a single electron moving in the field of two atomic nuclei, such as the diatomic ion HeH2+. This was first done by Wolfgang Pauli in his doctoral dissertation under Arnold Sommerfeld, a study of the first ion of molecular hydrogen, namely the hydrogen molecule ion H2+. These energy levels can be calculated with reasonable accuracy using the Einstein–Brillouin–Keller method, which is also the basis of the Bohr model of atomic hydrogen. More recently, as explained further in the quantum mechanical version, analytical solutions to the eigenvalues (energies) have been obtained: these are a generalization of the Lambert W function. The exact solution, in the full three dimensional case, can be expressed in terms of Weierstrass's elliptic functions For convenience, the problem may also be solved by numerical methods, such as Runge–Kutta integration of the equations of motion. The total energy of the moving particle is conserved, but its linear and angular momentum are not, since the two fixed centers can apply a net force and torque. Nevertheless, the particle has a second conserved quantity that corresponds to the angular momentum or to the Laplace–Runge–Lenz vector as limiting cases. The Euler three body problem is known by a variety of names, such as the problem of two fixed centers, the Euler–Jacobi problem, and the two center Kepler problem. Various generalizations of Euler's problem are known; these generalizations add linear and inverse cubic forces and up to five centers of force. Special cases of these generalized problems include Darboux's problem and Velde's problem.

Обзор и история

Проблема трех тел Эйлера состоит в описании движения частицы под влиянием двух центров, притягивающих частицу центральными силами, убывающими с расстоянием по закону обратных квадратов, такими как ньютоновская гравитация или закон Кулона. Примеры проблемы Эйлера включают электрон, движущийся в электрическом поле двух ядер, например, иона молекулы водорода H2+. Силы двух обратных квадратов не обязательно должны быть равны; для иллюстрации, два ядра могут иметь разные заряды, как в молекулярном ионе HeH2+. В проблеме трех тел Эйлера предполагается, что два центра притяжения неподвижны. Это не совсем верно в случае H2+, но протоны испытывают значительно меньшее ускорение, чем электрон. Однако, проблема трех тел Эйлера неприменима к планете, движущейся в гравитационном поле двух звезд, поскольку в этом случае по крайней мере одна из звезд испытывает ускорение, сопоставимое с ускорением планеты. Эта проблема была впервые рассмотрена Леонардом Эйлером, который показал, что она имеет точное решение в 1760 году. Жозеф Луи Лагранж решил обобщенную задачу, в которой центры оказывают как линейные, так и силы, убывающие по закону обратных квадратов. Карл Густав Якоби Якоби показал, что вращение частицы вокруг оси двух фиксированных центров можно выделить, сведя общую трехмерную задачу к плоской. В 2008 году издательство Бирхаузер опубликовало книгу под названием «Интегрируемые системы в небесной механике». В этой книге ирландский математик Диармуид О Матуна представил решения в замкнутой форме как для задачи двух фиксированных центров в плоскости, так и для трехмерной задачи.

Постоянные движения

Проблема двух фиксированных центров сохраняет энергию; другими словами, полная энергия является интегралом движения. Потенциальная энергия задается выражением

где – положение частицы, а и – расстояния между частицей и центрами силы; и – константы, характеризующие величину первой и второй сил соответственно. Полная энергия равна сумме этой потенциальной энергии и кинетической энергии частицы:

где и – масса частицы и её линейный импульс соответственно. Линейный и угловой момент частицы не сохраняются в проблеме Эйлера, поскольку два центра силы действуют на частицу как внешние силы, что может привести к ненулевой результирующей силе и моменту силы. Тем не менее, проблема Эйлера обладает второй постоянной движения:

где – расстояние между двумя центрами силы, а и – углы, определяющие положение линий, соединяющих частицу с центрами силы, относительно линии, соединяющей сами центры. Эта вторая постоянная движения была установлена Э. Т. Уиттакером в его трудах по аналитической механике и обобщена на размерности Коулсоном и Джозефом в 1967 году. В форме Коулсона–Джозефа постоянная движения записывается как

где обозначает компоненту импульса вдоль оси, на которой расположены притягивающие центры. Эта постоянная движения соответствует квадрату полного углового момента в пределе, когда два центра силы сближаются в одну точку , и пропорциональна вектору Лапласа–Рунге–Ленца в пределе, когда один из центров уходит в бесконечность (при этом остается конечным).

Квантово-механическая версия

Особым случаем квантовомеханической задачи трех тел является ион молекулы водорода H2+. Два из трех тел – ядра, а третье – быстродвижущийся электрон. Два ядра в 1800 раз массивнее электрона и поэтому моделируются как неподвижные центры. Хорошо известно, что уравнение Шрёдингера разделяется в пролатных сфероидальных координатах и может быть разложено на два обыкновенных дифференциальных уравнения, связанных собственным значением энергии и константой разделения. Однако для получения решений требовалось разложение в ряды по базисным функциям. Тем не менее, с помощью экспериментальной математики было установлено, что собственное значение энергии математически представляет собой обобщение функции Ламберта W (см. статью «Функция Ламберта W» и ссылки в ней для получения более подробной информации). Задача об ионе молекулы водорода с фиксированными ядрами может быть полностью решена в системе компьютерной алгебры. Сам факт того, что решение является неявной функцией, является показательным. Один из успехов теоретической физики заключается не только в том, что она поддается математическому описанию, но и в том, что алгебраические уравнения, возникающие при этом, могут быть символически преобразованы до тех пор, пока не будет выделено аналитическое решение, желательно в замкнутой форме. Этот тип решения для частного случая задачи трех тел демонстрирует возможности получения аналитического решения для квантовой задачи трех и многих тел.

Обобщения

Исчерпывающий анализ разрешимых обобщений задачи трех тел Эйлера был проведен Адамом Хилтебейтелем в 1911 году. Простейшее обобщение задачи трех тел Эйлера состоит в добавлении третьего центра силы на полпути между первоначальными двумя центрами, который оказывает только линейную силу Гука. Следующее обобщение – добавление к законам обратных квадратов силы, линейно возрастающей с расстоянием. Заключительный набор обобщений заключается в добавлении двух фиксированных центров силы, расположенных в точках с мнимыми координатами, с силами, включающими как линейные, так и обратные квадратные зависимости, а также силы, параллельной оси мнимых центров и изменяющейся обратно пропорционально кубу расстояния до этой оси. Решение исходной задачи Эйлера является приближенным решением для движения частицы в гравитационном поле вытянутого тела, то есть сферы, удлиненной в одном направлении, например, имеющей форму сигары. Соответствующее приближенное решение для частицы, движущейся в поле сплюснутого сфероида (сферы, сжатой в одном направлении), получается путем придания мнимых значений координатам двух центров силы. Решение для сплюснутого сфероида имеет большее астрономическое значение, поскольку большинство планет, звезд и галактик приблизительно представляют собой сплюснутые сфероиды; вытянутые сфероиды встречаются редко. Аналогом сплюснутого случая в общей теории относительности является черная дыра Керра. Геодезические линии вокруг этого объекта интегрируемы благодаря существованию четвертой постоянной движения (в дополнение к энергии, угловому моменту и величине четырехмерного импульса), известной как постоянная Картера. Задача трех тел Эйлера и черная дыра Керра имеют одинаковые моменты инерции, что наиболее очевидно, если метрика для последней записана в координатах Керра — Шильда. Аналогом сплюснутого случая, дополненного линейным членом Гука, является черная дыра Керра — де Ситтера. Подобно закону Гука, космологическая постоянная линейно зависит от расстояния до начала координат, а пространство-время Керра — де Ситтера также допускает постоянную типа Картера, квадратичную относительно импульсов.

An exhaustive analysis of the soluble generalizations of Euler's three body problem was carried out by Adam Hiltebeitel in 1911. The simplest generalization of Euler's three body problem is to add a third center of force midway between the original two centers, that exerts only a linear Hooke force. The next generalization is to augment the inverse square force laws with a force that increases linearly with distance. The final set of generalizations is to add two fixed centers of force at positions that are imaginary numbers, with forces that are both linear and inverse square laws, together with a force parallel to the axis of imaginary centers and varying as the inverse cube of the distance to that axis. The solution to the original Euler problem is an approximate solution for the motion of a particle in the gravitational field of a prolate body, i. e., a sphere that has been elongated in one direction, such as a cigar shape. The corresponding approximate solution for a particle moving in the field of an oblate spheroid (a sphere squashed in one direction) is obtained by making the positions of the two centers of force into imaginary numbers. The oblate spheroid solution is astronomically more important, since most planets, stars and galaxies are approximately oblate spheroids; prolate spheroids are very rare. The analogue of the oblate case in general relativity is a Kerr black hole. The geodesics around this object are known to be integrable, owing to the existence of a fourth constant of motion (in addition to energy, angular momentum, and the magnitude of four momentum), known as the Carter constant. Euler's oblate three body problem and a Kerr black hole share the same mass moments, and this is most apparent if the metric for the latter is written in Kerr–Schild coordinates. The analogue of the oblate case augmented with a linear Hooke term is a Kerr–de Sitter black hole. As in Hooke's law, the cosmological constant term depends linearly on distance from the origin, and the Kerr–de Sitter spacetime also admits a Carter type constant quadratic in the momenta.