Кіріспе

Конфлюент гипергеометриялық теңдеудің шешімі

Математикада конфлюент гипергеометриялық функция – конфлюент гипергеометриялық теңдеудің шешімі, бұл гипергеометриялық дифференциалдық теңдеудің ерекше жағдайы, онда үш тұрақты сингулярлықтың екеуі бірігіп, иррационалды сингулярлыққа айналады. "Конфлюент" термині дифференциалдық теңдеулер отбасының дара нүктелерінің бірігуін білдіреді; "confluere" латын тілінен аударғанда "бірге ағу" деген мағынаны береді. Конфлюент гипергеометриялық функциялардың бірнеше кең таралған стандартты түрлері бар:

Кумердің (конфлюент гипергеометриялық) функциясы M(a, b, z), Кумердің дифференциалдық теңдеуінің шешімі болып табылады. Бұл сондай-ақ бірінші типтегі конфлюент гипергеометриялық функция деп аталады. Сол атаумен, бірақ байланысы жоқ басқа Кумер функциясы да бар. Трикомидің (конфлюент гипергеометриялық) функциясы U(a, b, z), кейде Ψ(a; b; z) деп белгіленеді, Кумер теңдеуінің тағы бір шешімі. Бұл екінші типтегі конфлюент гипергеометриялық функция деп те аталады. Уиттакер функциялары (Эдмунд Тейлор Уиттакердің құрметіне) – Уиттакер теңдеуінің шешімдері. Кулон толқындары – Кулон толқын теңдеуінің шешімдері. Кумер функциялары, Уиттакер функциялары және Кулон толқындары негізінен бірдей, олар бір-бірінен тек қарапайым функциялармен және айнымалылардың өзгеруімен ғана ерекшеленеді.

Қарым-қатынастар

Әр түрлі аргументтерге және олардың туындыларына байланысты Куммер функциялары арасында көптеген байланыстар бар. Осы бөлімде бірнеше типік мысалдар келтіріледі.

Жақын қатынастар

M(a, b, z) берілгенде, M(a ± 1, b, z), M(a, b ± 1, z) төрт функциясы M(a, b, z) функциясына жанас деп аталады. M(a, b, z) функциясын кез келген екі жанас функциясының сызықтық комбинациясы түрінде жазуға болады, мұнда a, b және z шарттарындағы рационал коэффициенттер қолданылады. Бұл оң жақтағы кез келген екі түзуді теңестіру арқылы алынатын қатынастарды береді: 1=M = M(a, b, z), 1= M(a+) = M(a + 1, b, z) және т.б. Осы қатынастарды қайталап қолдану M(a + m, b + n, z) (және олардың жоғары туындылары) түріндегі кез келген үш функция арасындағы сызықтық қатынасты береді, мұнда m және n – бүтін сандар. U үшін де ұқсас қатынастар бар.