Введение

Решение сходящего гипергеометрического уравнения

В математике сходящая гипергеометрическая функция является решением сходящего гипергеометрического уравнения, которое представляет собой вырожденную форму гипергеометрического дифференциального уравнения, где две из трех регулярных сингулярностей сливаются в одну нерегулярную сингулярность. Термин "сходящий" (confluent) относится к слиянию сингулярных точек семейств дифференциальных уравнений; латинское слово *confluere* означает "стекаться вместе". Существует несколько общепринятых стандартных форм сходящих гипергеометрических функций:

Функция Куммера (сходящая гипергеометрическая) M(a, b, z), введенная , является решением дифференциального уравнения Куммера. Она также известна как сходящая гипергеометрическая функция первого рода. Существует другая, не связанная функция Куммера с тем же названием. Функция Трикоми (сходящая гипергеометрическая) U(a, b, z), введенная , иногда обозначаемая Ψ(a; b; z), является другим решением уравнения Куммера. Она также известна как сходящая гипергеометрическая функция второго рода. Функции Уиттакера (в честь Эдмунда Тейлора Уиттакера) являются решениями уравнения Уиттакера. Кулоновские волновые функции являются решениями волнового уравнения Кулона. Функции Куммера, функции Уиттакера и кулоновские волновые функции по существу одинаковы и отличаются друг от друга лишь элементарными функциями и заменой переменных.

Отношения

Существует множество связей между функциями Куммера для различных аргументов и их производными. В этом разделе приведены несколько типичных примеров.

Соседствующие отношения

При заданном M(a, b, z), четыре функции M(a ± 1, b, z), M(a, b ± 1, z) называются смежными с M(a, b, z). Функция M(a, b, z) может быть записана как линейная комбинация любых двух смежных функций с рациональными коэффициентами, выраженными через a, b и z. Это дает соотношения, определяемые путем приравнивания любых двух выражений на правой стороне в вышеуказанной нотации, где 1=M = M(a, b, z), 1= M(a+) = M(a + 1, b, z) и так далее. Повторное применение этих соотношений дает линейную зависимость между любыми тремя функциями вида M(a + m, b + n, z) (и их высшими производными), где m и n – целые числа. Аналогичные соотношения существуют и для U.