Вильгельм Киллинг: Математикалық жаңалықтардың авторы

Кіріспе

Вильгельм Карл Жозеф Киллинг (10 мамыр 1847 – 11 ақпан 1923) – неміс математигі, Ли алгебралары, Ли топтары және Евклид емес геометрия теорияларына маңызды үлес қоскан.

Өмір

Киллинг Мюнстер университетінде оқыды, кейіннен 1872 жылы Берлинде Карл Вейерштрасс пен Эрнст Кумердің жетекшілігімен диссертация қорғады. Ол 1868-1872 жылдары гимназияда (орта мектепте) сабақ берді. 1875 жылы музыка оқытушысының қызы Анна Коммерге үйленді. Ол Браунсбергтегі (қазіргі Браниево) Collegium Hosianum семинария колледжінің профессоры болды. Ол өзінің оқытушылық қызметін бастау үшін діни сана алды. Ол колледждің ректоры және қалалық кеңестің төрағасы болды. Профессор және әкімші ретінде Киллинг көпшілікке ұнады және құрметке ие болды. Соңында, 1892 жылы Мюнстер университетінде профессор болды. 1886 жылы Киллинг әйелімен бірге Францискан орденінің үшінші тармағына кірді. Вейерштрасс оқыған лекцияларын еске түсіріп, ол Вейерштрасс координаттарымен сипатталған гиперболалық геометрияның гиперболоидты моделін енгізді. Ол сондай-ақ 1885 жылы n өлшемдегі Лоренц түрлендірулеріне математикалық жағынан эквивалентті түрлендірулерді тұжырымдады. Киллинг 1880 жылдары Софус Лиден тәуелсіз түрде Ли алгебрасын ойлап тапты. Киллингтің университет кітапханасында Лидің мақаласы жарияланған скандинавиялық журнал болған жоқ. (Ли кейінірек Киллингті сыйламады, мүмкін бәсекелестік рухтан туындап, барлық дұрыс дәлелдер Лиге тиесілі екенін, ал жарамсыз нәрселердің бәрі Киллинг қосымша жасағанын мәлімдеді.) Шындығында, Киллингтің жұмысы логикалық тұрғыдан Лидің жұмысымен салыстырғанда кем қатаң болды, бірақ Киллингтің топтарды жіктеу мақсаты әлдеқайда зор болды, және ол көптеген дәлелденбеген болжамдар жасады, олар кейіннен дұрыс екені дәлелденді. Киллингтің мақсаттары өте биік болғандықтан, ол өзінің жетістіктері туралы тым қарапайым болды. 1888 жылдан 1890 жылға дейін Киллинг кешендік шекті өлшемді қарапайым Ли алгебраларын жіктеді, бұл Ли топтарын жіктеудің қажетті қадамы болды, сонымен қатар Картан субалгебрасы және Картан матрицасы туралы ұғымдарды ойлап тапты. Осылайша ол, негізінен, жалғыз қарапайым Ли алгебралары сызықтық, ортогональды және симплектикалық топтармен байланысты екенін, тек аз ғана ерекше жағдайлар бар екенін анықтады. Эли Картанның 1894 жылғы диссертациясы негізінен Киллингтің мақаласын қатаң түрде қайта жазу болды. Киллинг сонымен қатар түбірлік жүйе туралы ұғымды енгізді. Ол ерекше Ли алгебрасын g2 1887 жылы ашты; оның түбірлік жүйесінің жіктелуі барлық ерекше жағдайларды көрсетті, бірақ нақты құрылымдар кейін пайда болды. А. Коулман айтқандай, "Ол Вейл тобының сипаттамалық теңдеуін Вейл 3 жасқа толғанда көрсетті және Коксетер туылғаннан 19 жыл бұрын Коксетер түрлендіруінің ретін тізімдеді".

Killing studied at the University of Münster and later wrote his dissertation under Karl Weierstrass and Ernst Kummer at Berlin in 1872. He taught in gymnasia (secondary schools) from 1868 to 1872. In 1875, he married Anna Commer, who was the daughter of a music lecturer. He became a professor at the seminary college Collegium Hosianum in Braunsberg (now Braniewo). He took holy orders in order to take his teaching position. He became rector of the college and chair of the town council. As a professor and administrator Killing was widely liked and respected. Finally, in 1892 he became a professor at the University of Münster. In 1886, Killing and his wife entered the Third Order of Franciscans. Recounting lectures of Weierstrass, he there introduced the hyperboloid model of hyperbolic geometry described by Weierstrass coordinates. He is also credited with formulating transformations mathematically equivalent to Lorentz transformations in n dimensions in 1885. Killing invented Lie algebras independently of Sophus Lie around 1880. Killing's university library did not contain the Scandinavian journal in which Lie's article appeared. (Lie later was scornful of Killing, perhaps out of competitive spirit and claimed that all that was valid had already been proven by Lie and all that was invalid was added by Killing.) In fact Killing's work was less rigorous logically than Lie's, but Killing had much grander goals in terms of classification of groups, and made a number of unproven conjectures that turned out to be true. Because Killing's goals were so high, he was excessively modest about his own achievement. From 1888 to 1890, Killing essentially classified the complex finite dimensional simple Lie algebras, as a requisite step of classifying Lie groups, inventing the notions of a Cartan subalgebra and the Cartan matrix. He thus arrived at the conclusion that, basically, the only simple Lie algebras were those associated to the linear, orthogonal, and symplectic groups, apart from a small number of isolated exceptions. Élie Cartan's 1894 dissertation was essentially a rigorous rewriting of Killing's paper. Killing also introduced the notion of a root system. He discovered the exceptional Lie algebra g2 in 1887; his root system classification showed up all the exceptional cases, but concrete constructions came later. As A. J. Coleman says, "He exhibited the characteristic equation of the Weyl group when Weyl was 3 years old and listed the orders of the Coxeter transformation 19 years before Coxeter was born."