Вильгельм Киллинг: Жизнь и вклад в теорию групп Ли и неевклидову геометрию

Введение

Немецкий математик

Вильгельм Карл Иозеф Киллинг (10 мая 1847 – 11 февраля 1923) — немецкий математик, внесший значительный вклад в теории алгебр Ли, групп Ли и неевклидовой геометрии.

Жизнь

Киллинг учился в университете Мюнстера, а затем написал свою диссертацию под руководством Карла Вейерштрасса и Эрнста Куммера в Берлине в 1872 году. Он преподавал в гимназиях (средних школах) с 1868 по 1872 год. В 1875 году он женился на Анне Коммер, дочери преподавателя музыки. Он стал профессором в семинарской коллегии Collegium Hosianum в Браунсберге (ныне Браниево). Он принял священный сан, чтобы занять преподавательскую должность. Он стал ректором колледжа и председателем городского совета. Как профессор и администратор, Киллинг пользовался всеобщей симпатией и уважением. В 1892 году он, наконец, стал профессором Мюнстерского университета. В 1886 году Киллинг и его жена вступили в Третий орден францисканцев. Пересказывая лекции Вейерштрасса, он представил гиперболоидную модель гиперболической геометрии, описанную координатами Вейерштрасса. Ему также приписывают формулирование преобразований, математически эквивалентных преобразованиям Лоренца в n измерениях в 1885 году. Киллинг независимо от Софуса Ли изобрел алгебры Ли около 1880 года. В университетской библиотеке Киллинга не было скандинавского журнала, в котором была опубликована статья Ли. (Позже Ли относился к Киллингу с пренебрежением, возможно, из-за соперничества, и утверждал, что всё существенное уже было доказано Ли, а всё ошибочное – добавлено Киллингом.) На самом деле, работа Киллинга была менее строгой с логической точки зрения, чем работа Ли, но у Киллинга были гораздо более масштабные цели в отношении классификации групп, и он выдвинул ряд непроверенных гипотез, которые впоследствии оказались верными. Из-за амбициозности своих целей Киллинг был чрезмерно скромен в оценке собственных достижений. С 1888 по 1890 год Киллинг, по сути, классифицировал комплексные конечномерные простые алгебры Ли как необходимый шаг к классификации групп Ли, введя понятия подалгебры Картана и матрицы Картана. Таким образом, он пришел к выводу, что, по сути, единственными простыми алгебрами Ли были те, которые связаны с линейными, ортогональными и симплектическими группами, за исключением небольшого числа изолированных исключений. Диссертация Эли Картана 1894 года по существу представляла собой строгое изложение работы Киллинга. Киллинг также ввёл понятие корневой системы. Он открыл исключительную алгебру Ли g2 в 1887 году; его классификация корневых систем выявила все исключительные случаи, но конкретные построения появились позже. Как говорит А. Дж. Коулман: «Он вывел характеристическое уравнение группы Вейля, когда Вейлю было всего 3 года, и перечислил порядки преобразования Коксетера за 19 лет до рождения Коксетера».

Killing studied at the University of Münster and later wrote his dissertation under Karl Weierstrass and Ernst Kummer at Berlin in 1872. He taught in gymnasia (secondary schools) from 1868 to 1872. In 1875, he married Anna Commer, who was the daughter of a music lecturer. He became a professor at the seminary college Collegium Hosianum in Braunsberg (now Braniewo). He took holy orders in order to take his teaching position. He became rector of the college and chair of the town council. As a professor and administrator Killing was widely liked and respected. Finally, in 1892 he became a professor at the University of Münster. In 1886, Killing and his wife entered the Third Order of Franciscans. Recounting lectures of Weierstrass, he there introduced the hyperboloid model of hyperbolic geometry described by Weierstrass coordinates. He is also credited with formulating transformations mathematically equivalent to Lorentz transformations in n dimensions in 1885. Killing invented Lie algebras independently of Sophus Lie around 1880. Killing's university library did not contain the Scandinavian journal in which Lie's article appeared. (Lie later was scornful of Killing, perhaps out of competitive spirit and claimed that all that was valid had already been proven by Lie and all that was invalid was added by Killing.) In fact Killing's work was less rigorous logically than Lie's, but Killing had much grander goals in terms of classification of groups, and made a number of unproven conjectures that turned out to be true. Because Killing's goals were so high, he was excessively modest about his own achievement. From 1888 to 1890, Killing essentially classified the complex finite dimensional simple Lie algebras, as a requisite step of classifying Lie groups, inventing the notions of a Cartan subalgebra and the Cartan matrix. He thus arrived at the conclusion that, basically, the only simple Lie algebras were those associated to the linear, orthogonal, and symplectic groups, apart from a small number of isolated exceptions. Élie Cartan's 1894 dissertation was essentially a rigorous rewriting of Killing's paper. Killing also introduced the notion of a root system. He discovered the exceptional Lie algebra g2 in 1887; his root system classification showed up all the exceptional cases, but concrete constructions came later. As A. J. Coleman says, "He exhibited the characteristic equation of the Weyl group when Weyl was 3 years old and listed the orders of the Coxeter transformation 19 years before Coxeter was born."