Кіріспе
Матрицалардың векторлық кеңістігіндегі нормалар: жалпы ұғым
the general concept
Математика саласында нормалар векторлық кеңістіктегі элементтер үшін анықталады. Атап айтқанда, егер векторлық кеңістік матрицалардан тұрса, онда мұндай нормалар матрицалық нормалар деп аталады. Матрицалық нормалар векторлық нормалардан өзгешелігі – олар матрицалық көбейтумен де үйлесімдесуі керек.
Векторлық нормалар арқылы индукцияланған матрицалық нормалар
Егер on және on векторлық нормалар берілген болсын. Кез келген A матрицасы стандартты базис бойынша on-нан on-ға сызықтық операторды туындайды, ал барлық матрицалар кеңістігіндегі тиісті туынды норманы немесе оператор нормасын немесе бағынышты норманы былай анықтайды:
мұнда supremum белгіленеді. Бұл норма A матрицасының туындатқан бейнелеуі векторларды қаншалықты созуға болатынын өлшейді. Қолданылған векторлық нормаларға байланысты , оператор нормасын белгілеу үшін басқа да жазулар қолданылуы мүмкін.
Векторлық α- және β-нормалармен индукцияланған матрицалық нормалар
Жоғарыдағы анықтаманы жалпылауға болады. Егер бізде сәйкесінше кеңістіктер үшін және векторлық нормалар болса; сәйкес операторлық нормасы болып табылады. Атап айтқанда, бұрын анықталған – бұл матрицалық норманың ерекше жағдайы.
In the special cases of and , the induced matrix norms can be computed bywhere is the i th row of matrix
In the special cases of and , the induced matrix norms can be computed bywhere is the j th column of matrix
Hence, and are the maximum row and column 2 norm of the matrix, respectively.
және жағдайларында, шақырылған матрицалық нормалар мына формуламен есептелуі мүмкін, мұнда – матрицаның i-ші қатары.
In the special cases of and , the induced matrix norms can be computed bywhere is the i th row of matrix
In the special cases of and , the induced matrix norms can be computed bywhere is the j th column of matrix
Hence, and are the maximum row and column 2 norm of the matrix, respectively.
және жағдайларында, шақырылған матрицалық нормалар мына формуламен есептелуі мүмкін, мұнда – матрицаның j-ші бағаны.
In the special cases of and , the induced matrix norms can be computed bywhere is the i th row of matrix
In the special cases of and , the induced matrix norms can be computed bywhere is the j th column of matrix
Hence, and are the maximum row and column 2 norm of the matrix, respectively.
Осылайша, және сәйкесінше матрицаның максималды қатарлық және бағандық 2-нормалары болып табылады.
In the special cases of and , the induced matrix norms can be computed bywhere is the i th row of matrix
In the special cases of and , the induced matrix norms can be computed bywhere is the j th column of matrix
Hence, and are the maximum row and column 2 norm of the matrix, respectively.
"Кіру бойынша" матрицалық нормалар
Бұл нормалар матрицаны өлшемдік вектор ретінде қарастырады және белгілі векторлық нормалардың бірін қолданады. Мысалы, векторлар үшін p-норманы қолдансақ, p ≥ 1:
Бұл индукцияланған p-нормасынан (жоғарыда қараңыз) және Шаттен p-нормасынан (төменде қараңыз) өзгеше норма, бірақ нотациясы бірдей. p = 2 ерекше жағдайы Фробениус нормасы, ал p = ∞ максималды норманы береді.
Монотондық нормалар
Матрицалық норма Лоунер ретіне қатысты монотонды болса, онда ол монотонды деп аталады. Демек, матрицалық норма егер өсетін болса,
Фробен нормасы және спектрлік норма – монотонды нормалардың мысалдары.
Төлем нормалары
Матрицалық нормалардың тағы бір шабыт көзі – матрицаны салмақталған, бағытталған графтың жабыстық матрицасы ретінде қарастырудан туындайды. "Кесілім нормасы" деп аталатын шама, байланысты графтың екі бөлікті болуға қаншалықты жақын екенін өлшейді:
мұнда A ∈ K^(m×n). Баламалы анықтамалар (тұрақты факторға дейін) келесі шарттарды қояды: 1=S = T; немесе S ∩ T = ∅.