Введение

Норма на векторном пространстве матриц: общее понятие

В математике нормы определяются для элементов векторного пространства. В частности, если векторное пространство состоит из матриц, такие нормы называются матричными нормами. Матричные нормы отличаются от норм векторов тем, что они должны учитывать операцию умножения матриц.

Матричные нормы, индуцированные векторными нормами

Предположим, что векторная норма на и векторная норма на даны. Любая матрица A индуцирует линейный оператор из в относительно стандартного базиса, и соответствующая индуцированная норма, или норма оператора, или подчиненная норма на пространстве всех матриц определяется следующим образом:

где обозначает супремум. Эта норма измеряет, насколько отображение, индуцированное матрицей A, может растягивать векторы. В зависимости от используемых векторных норм, для нормы оператора может использоваться иное обозначение.

Матричные нормы, индуцированные векторными α- и β-нормами

Мы можем обобщить вышеуказанное определение. Предположим, что у нас есть векторные нормы ||·||₁ и ||·||₂ для пространств X и Y соответственно; соответствующая операторная норма ||·||ₓ. В частности, операторная норма, определенная ранее, является частным случаем ||·||ₓ.
В частных случаях p=1 и p=∞, индуцированные матричные нормы могут быть вычислены по формуле: где xᵢ – i-я строка матрицы A.
В частных случаях p=1 и p=∞, индуцированные матричные нормы могут быть вычислены по формуле: где yⱼ – j-й столбец матрицы A.
Следовательно, ||A||₁ и ||A||∞ являются максимальной 1-нормой по строкам и максимальной бесконечной нормой по столбцам матрицы A, соответственно.

Нормы матрицы "по уровню входа"

Эти нормы рассматривают матрицу как вектор размера и используют одну из известных векторных норм. Например, используя p-норму для векторов, p ≥ 1, мы получаем:

Это другая норма, нежели индуцированная p-норма (см. выше) и норма Шаттена p-нормы (см. ниже), хотя обозначение используется такое же. Частный случай p = 2 – это норма Фробениуса, а p = ∞ дает максимальную норму.

Нормы монотонности

Норма матрицы называется монотонной, если она монотонна относительно порядка Лоунера. Таким образом, матричная норма возрастает, если

Норма Фробениуса и спектральная норма являются примерами монотонных норм.

Нормы сокращения

Другой источник вдохновения для матричных норм заключается в рассмотрении матрицы как матрицы смежности взвешенного ориентированного графа. Так называемая "норма разреза" измеряет, насколько близко соответствующий граф к двудольному:

где A ∈ K^(m×n). Эквивалентные определения (с точностью до постоянного множителя) накладывают условия: S = T; или S ∩ T = ∅.