Жарымретті полиэдрлер және олардың түрлері

Кіріспе

Геометрияда әртүрлі анықталған ұғым
+ Жартылай тұрақты полиэдрлер: Архимедтік денелер, призмалар және антипризмалар
Геометрияда жартылай тұрақты полиэдр (немесе жартылай тұрақты политоп) термині әр түрлі авторлар тарапынан әртүрлі мағыналарда қолданылады.

Анықтамалар

Бастапқы анықтамасы бойынша, ол тұрақты көпбұрышты жақтары бар көпбұрыш және оның төбелерінде транзитивті симметрия тобы бар; бүгінде бұл көбінесе біркелкі көпбұрыш деп аталады (бұл Торольд Госсеттің 1900 жылғы жартылай тұрақты политоптың жалпы анықтамасынан туындайды). Осы көпбұрыштарға мыналар жатады: Архимедтің он үш қатты денесі. Ұзынша шаршылы гиробикупола, сондай-ақ псевдоромбикубоктаэдр деп аталады, Джонсон қатты денесі, 3.4.4.4 нүктелік конфигурациясы бар, бірақ төбелік транзитивті емес. Бранко Грунбаум оны 14-ші Архимед қатты денесі ретінде қосуға аргумент келтірді. Шеңберлі призмалардың шексіз қатары. Шеңберлі антипризмалардың шексіз қатары (олардың жартылай тұрақты екенін алғаш рет Кеплер байқаған). Бұл жартылай тұрақты қатты денелерді төбелік конфигурация арқылы толық анықтауға болады: жақтардың саны бойынша тізім, олар төбе маңында пайда болатын ретпен. Мысалы: 3.5.3.5 – икосидодекаэдрды білдіреді, онда әр төбеде екі үшбұрыш және екі бесбұрыш кезектесіп орналасқан. Керісінше: 3.3.3.5 – бесбұрышты антипризма. Бұл көпбұрыштар кейде төбелік транзитивті деп сипатталады. Госсеттен бастап басқа авторлар жартылай тұрақты терминін жоғары өлшемді политоптармен байланысты түрліше қолданды. Е. Л. Элте Коксетердің тым жасанды деп тапқан анықтамасын ұсынды. Коксетердің өзі Госсет фигураларын біркелкі деп атады, тек жартылай тұрақты саналатын өте шектеулі жиынтығын ғана. Ал басқалары керісінше, көбірек көпбұрыштарды жартылай тұрақты деп санады. Оларға мыналар жатады: Госсеттің анықтамасына сәйкес келетін жұлдызды көпбұрыштардың үш жиынтығы, жоғарыда аталған үш дөңгелек жиынтығына ұқсас. Жоғарыда аталған жартылай тұрақты қатты денелердің дуалдары, екі полиэдрдің түпнұсқаларымен бірдей симметрияға ие болғандықтан, оларды да жартылай тұрақты деп қарастыру керек деп дәлелдеді. Бұл дуалдарға каталандық қатты денелер, дөңгелек дипирамидалар және дөңгелек антидипирамидалар немесе трапецоэдрлер, сондай-ақ олардың дөңгелек емес аналогтары кіреді. Архимед қатты денелерін анықтаудағы шатасудың тағы бір себебі – әртүрлі интерпретациялардың пайда болуы. Госсеттің жартылай тұрақтылық туралы анықтамасына жоғары симметриялы фигуралар кіреді: тұрақты және квазирегулярлы көпбұрыштар. Кейбір кейінгі авторлар оларды жартылай тұрақты емес деп санауды жөн көреді, өйткені олар біркелкі полиэдрлерге қарағанда тұрақты. Сонда біркелкі полиэдрлер тұрақты, квазирегулярлы және жартылай тұрақтыларды қамтиды деп айтылады. Бұл номенклатуралық жүйе жақсы жұмыс істейді және көптеген (бірақ барлық емес) шатасуларды шешеді. Іс жүзінде, тіпті ең беделді мамандар да өздерін шатастыра алады, полиэдрлердің белгілі бір жиынтығын жартылай тұрақты және/немесе Архимедтік деп анықтап, кейінгі талқылауларда басқа жиынтықты қабылдап (немесе тіпті айтады). Өз анықтамасы тек дөңгелек полиэдрлерге қатысты деп есептеу, ең көп кездесетін қателік болып табылады. Коксетер, Кромвелл және Кунди мен Роллетт – барлығы осындай қателіктерге жол берген.

In its original definition, it is a polyhedron with regular polygonal faces, and a symmetry group which is transitive on its vertices; today, this is more commonly referred to as a uniform polyhedron (this follows from Thorold Gosset's 1900 definition of the more general semiregular polytope). These polyhedra include:
The thirteen Archimedean solids. The elongated square gyrobicupola, also called a pseudo rhombicuboctahedron, a Johnson solid, has identical vertex figures 3.4.4.4, but is not vertex transitive including a twist has been argued for inclusion as a 14th Archimedean solid by Branko Grünbaum. An infinite series of convex prisms. An infinite series of convex antiprisms (their semiregular nature was first observed by Kepler). These semiregular solids can be fully specified by a vertex configuration: a listing of the faces by number of sides, in order as they occur around a vertex. For example: 3.5.3.5 represents the icosidodecahedron, which alternates two triangles and two pentagons around each vertex. In contrast: 3.3.3.5 is a pentagonal antiprism. These polyhedra are sometimes described as vertex transitive. Since Gosset, other authors have used the term semiregular in different ways in relation to higher dimensional polytopes. E. L. Elte provided a definition which Coxeter found too artificial. Coxeter himself dubbed Gosset's figures uniform, with only a quite restricted subset classified as semiregular. Yet others have taken the opposite path, categorising more polyhedra as semiregular. These include:
Three sets of star polyhedra which meet Gosset's definition, analogous to the three convex sets listed above. The duals of the above semiregular solids, arguing that since the dual polyhedra share the same symmetries as the originals, they too should be regarded as semiregular. These duals include the Catalan solids, the convex dipyramids, and the convex antidipyramids or trapezohedra, and their nonconvex analogues. A further source of confusion lies in the way that the Archimedean solids are defined, again with different interpretations appearing. Gosset's definition of semiregular includes figures of higher symmetry: the regular and quasiregular polyhedra. Some later authors prefer to say that these are not semiregular, because they are more regular than that the uniform polyhedra are then said to include the regular, quasiregular, and semiregular ones. This naming system works well, and reconciles many (but by no means all) of the confusions. In practice even the most eminent authorities can get themselves confused, defining a given set of polyhedra as semiregular and/or Archimedean, and then assuming (or even stating) a different set in subsequent discussions. Assuming that one's stated definition applies only to convex polyhedra is probably the most common failing. Coxeter, Cromwell, and Cundy & Rollett are all guilty of such slips.

Жалпы ескертулер

+ Ромбты жартылай тұрақты көпжақтар (Кеплер) Тригональды трапезоэдр (V(3.3)2) Ромбты додекаэдр (V(3.4)2) Ромбты триаконтаэдр (V(3.5)2)

Иоганн Кеплер өзінің «Әлем гармониясы» (1619) кітабында жартылай тұрақты категориясын енгізді, оның ішінде 13 Архимедтік қатты дене, екі шексіз отбасы (тұрақты негіздердегі призмалар мен антипризмалар) және екі шеттік транзитивті Каталон қатты денесі – ромбты додекаэдр және ромбты триаконтаэдр кірді. Ол сондай-ақ ромбты теңқабырғалы және екі бұрышы кезектесетін жартылай тұрақты көпбұрыш ретінде қарастырды, қазір изотоксальды фигуралар деп аталатын жұлдызды көпбұрыштарды да зерттеді, оларды жазықтықтағы мозаикаларда қолданды. Ромбтық жақтары сәйкес келетін топологиялық куб – тригональды трапезоэдр да жартылай тұрақты деп есептелуі мүмкін, бірақ Кеплер оны нақты атап көрсеткен жоқ. Көптеген еңбектерде жартылай тұрақты көпжақ Архимедтік қатты денемен синоним ретінде қолданылады, мысалы, Cundy & Rollett (1961). Госсет негізінде жақтары тұрақты және төбелері транзитивті фигураларды, сондай-ақ олардың тік тұрақты (немесе версикалық тұрақты) және жақтары транзитивті дуалдарын ажыратуға болады. Коксетер және авторлар тобы (1954) p q | r түріндегі Уайтхофф символы бар біркелкі көпжақтарды жіктеу үшін жартылай тұрақты көпжақтар терминін қолданды, бұл анықтама тек алты Архимедтік қатты денені, тұрақты призмаларды (бірақ тұрақты антипризмаларды емес) және көптеген дөңес емес қатты денелерді қамтиды. Кейін Коксетер (1973) Госсеттің анықтамасын түсіндірмей келтіріп, оны қабылдады. Эрик Вайштейн, Роберт Уильямс және басқалар бұл терминді бес тұрақты көпжақты қоспағанда, дөңес біркелкі көпжақтарды білдіру үшін қолданады – олардың ішінде Архимедтік қатты денелер, біркелкі призмалар және біркелкі антипризмалар бар (призма ретінде куб пен антипризма ретінде тұрақты октаэдрмен байланысты). Питер Кромвелл (1997) 149-беттегі түсіндірмеде «қазіргі терминологияда 'жартылай тұрақты көпжақтар' Архимедтік және Каталондық (Архимедтік дуал) қатты денелеріне қатысты» деп жазады. 80-бетте ол Архимедтің он үш қатты денесін жартылай тұрақты деп сипаттайды, ал 367-беттен бастап Каталондықтар мен олардың «жартылай тұрақты» Архимедтік қатты денелерімен байланысын талқылайды. Бұл Каталондықтарды жартылай тұрақты емес деп қарастырады, демек, ол бұрынғы түсіндірмеде берген анықтамаға қайшы келеді (немесе кем дегенде оны шатастырады). Ол дөңес емес көпжақтарды ескермейді.

Johannes Kepler coined the category semiregular in his book Harmonices Mundi (1619), including the 13 Archimedean solids, two infinite families (prisms and antiprisms on regular bases), and two edge transitive Catalan solids, the rhombic dodecahedron and rhombic triacontahedron. He also considered a rhombus as a semiregular polygon (being equilateral and alternating two angles) as well as star polygons, now called isotoxal figures which he used in planar tilings. The trigonal trapezohedron, a topological cube with congruent rhombic faces, would also qualify as semiregular, though Kepler did not mention it specifically. In many works semiregular polyhedron is used as a synonym for Archimedean solid. For example, Cundy & Rollett (1961). We can distinguish between the facially regular and vertex transitive figures based on Gosset, and their vertically regular (or versi regular) and facially transitive duals. Coxeter et al. (1954) use the term semiregular polyhedra to classify uniform polyhedra with Wythoff symbol of the form p q | r, a definition encompassing only six of the Archimedean solids, as well as the regular prisms (but not the regular antiprisms) and numerous nonconvex solids. Later, Coxeter (1973) would quote Gosset's definition without comment, thus accepting it by implication. Eric Weisstein, Robert Williams and others use the term to mean the convex uniform polyhedra excluding the five regular polyhedra – including the Archimedean solids, the uniform prisms, and the uniform antiprisms (overlapping with the cube as a prism and regular octahedron as an antiprism). Peter Cromwell (1997) writes in a footnote to Page 149 that, "in current terminology, 'semiregular polyhedra' refers to the Archimedean and Catalan (Archimedean dual) solids". On Page 80 he describes the thirteen Archimedeans as semiregular, while on Pages 367 ff. he discusses the Catalans and their relationship to the 'semiregular' Archimedeans. By implication this treats the Catalans as not semiregular, thus effectively contradicting (or at least confusing) the definition he provided in the earlier footnote. He ignores nonconvex polyhedra.