Полуправильные многогранники: определения и классификации.

Введение

Различные определения понятия в геометрии. + Полурегулярные полиэдры: архимедовы тела, призмы и антипризмы. В геометрии термин «полурегулярный полиэдр» (или «полурегулярный политоп») используется разными авторами в различных значениях.

Определения

В своем первоначальном определении это полиэдр с правильными многоугольными гранями и группой симметрии, транзитивной относительно его вершин; сегодня это чаще называют однородным полиэдром (это следует из определения Торольда Госсета 1900 года для более общего полуправильного политопа). К этим многогранникам относятся:
Тринадцать архимедовых тел. Удлиненная квадратная гиробикупола, также называемая псевдоромбикубоктаэдром, тело Джонсона, имеет одинаковые вершинные фигуры 3.4.4.4, но не является транзитивной по вершинам; включение с учетом поворота в качестве 14-го архимедова тела было предложено Бранко Грунбаумом. Бесконечный ряд выпуклых призм. Бесконечный ряд выпуклых антипризм (их полуправильная природа была впервые отмечена Кеплером). Эти полуправильные тела могут быть полностью определены конфигурацией вершин: перечислением граней по количеству сторон в порядке их следования вокруг вершины. Например, 3.5.3.5 представляет икосидодекаэдр, который чередует два треугольника и два пятиугольника вокруг каждой вершины. В отличие от этого, 3.3.3.5 – это пятиугольная антипризма. Эти многогранники иногда описываются как транзитивные по вершинам. После Госсета другие авторы использовали термин «полуправильный» в различных контекстах применительно к политопам более высокой размерности. Э. Л. Элте дал определение, которое Коксетер посчитал слишком искусственным. Сам Коксетер назвал фигуры Госсета однородными, при этом лишь небольшое подмножество классифицировалось как полуправильные. Другие же пошли по противоположному пути, классифицируя большее количество полиэдров как полуправильные. К ним относятся:
Три набора звездных полиэдров, удовлетворяющих определению Госсета, аналогично трем выпуклым наборам, перечисленным выше. Двойственные к вышеуказанным полуправильным телам, утверждая, что поскольку двойственные полиэдры обладают теми же симметриями, что и исходные, их также следует рассматривать как полуправильные. Эти двойственные тела включают тела Катала́на, выпуклые дипирамиды и выпуклые антидипирамиды или трапецоэдры, а также их невыпуклые аналоги. Дополнительным источником путаницы является способ определения архимедовых тел, опять же с различными интерпретациями. Определение полуправильности Госсета включает фигуры с более высокой симметрией: правильные и квазиправильные полиэдры. Некоторые более поздние авторы предпочитают утверждать, что они не являются полуправильными, поскольку они более правильны, чем однородные полиэдры, которые, как считается, включают в себя правильные, квазиправильные и полуправильные. Эта система наименований работает хорошо и разрешает многие (но далеко не все) противоречия. На практике даже самые авторитетные специалисты могут запутаться, определяя тот или иной набор полиэдров как полуправильный и/или архимедов, а затем предполагая (или даже заявляя) другой набор в последующих обсуждениях. Вероятно, наиболее распространенной ошибкой является предположение, что заявленное определение применимо только к выпуклым полиэдрам. Коксетер, Кромвель и Канди и Роллетт все виновны в подобных оплошностях.

In its original definition, it is a polyhedron with regular polygonal faces, and a symmetry group which is transitive on its vertices; today, this is more commonly referred to as a uniform polyhedron (this follows from Thorold Gosset's 1900 definition of the more general semiregular polytope). These polyhedra include:
The thirteen Archimedean solids. The elongated square gyrobicupola, also called a pseudo rhombicuboctahedron, a Johnson solid, has identical vertex figures 3.4.4.4, but is not vertex transitive including a twist has been argued for inclusion as a 14th Archimedean solid by Branko Grünbaum. An infinite series of convex prisms. An infinite series of convex antiprisms (their semiregular nature was first observed by Kepler). These semiregular solids can be fully specified by a vertex configuration: a listing of the faces by number of sides, in order as they occur around a vertex. For example: 3.5.3.5 represents the icosidodecahedron, which alternates two triangles and two pentagons around each vertex. In contrast: 3.3.3.5 is a pentagonal antiprism. These polyhedra are sometimes described as vertex transitive. Since Gosset, other authors have used the term semiregular in different ways in relation to higher dimensional polytopes. E. L. Elte provided a definition which Coxeter found too artificial. Coxeter himself dubbed Gosset's figures uniform, with only a quite restricted subset classified as semiregular. Yet others have taken the opposite path, categorising more polyhedra as semiregular. These include:
Three sets of star polyhedra which meet Gosset's definition, analogous to the three convex sets listed above. The duals of the above semiregular solids, arguing that since the dual polyhedra share the same symmetries as the originals, they too should be regarded as semiregular. These duals include the Catalan solids, the convex dipyramids, and the convex antidipyramids or trapezohedra, and their nonconvex analogues. A further source of confusion lies in the way that the Archimedean solids are defined, again with different interpretations appearing. Gosset's definition of semiregular includes figures of higher symmetry: the regular and quasiregular polyhedra. Some later authors prefer to say that these are not semiregular, because they are more regular than that the uniform polyhedra are then said to include the regular, quasiregular, and semiregular ones. This naming system works well, and reconciles many (but by no means all) of the confusions. In practice even the most eminent authorities can get themselves confused, defining a given set of polyhedra as semiregular and/or Archimedean, and then assuming (or even stating) a different set in subsequent discussions. Assuming that one's stated definition applies only to convex polyhedra is probably the most common failing. Coxeter, Cromwell, and Cundy & Rollett are all guilty of such slips.

Общие замечания

+ Ромбические полуправильные многогранники (Кеплер) Тригональный трапезоэдр (V(3.3)2) Ромбический додекаэдр (V(3.4)2) Ромбический триаконтаэдр (V(3.5)2)

Иоганн Кеплер ввел категорию полуправильных в своей книге Harmonices Mundi (1619), включив в нее 13 архимедовых тел, два бесконечных семейства (призмы и антипризмы на правильных основаниях) и два краепереходных каталонских тела – ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр. Он также рассматривал ромб как полуправильный многоугольник (являясь равносторонним и чередуя два угла), а также звездные многоугольники, которые теперь называются изотоксальными фигурами, которые он использовал в планарных покрытиях. Тригональный трапезоэдр, топологический куб с конгруэнтными ромбическими гранями, также может квалифицироваться как полуправильный, хотя Кеплер не упоминал его конкретно. Во многих работах полуправильный многогранник используется как синоним архимедова тела. Например, Cundy & Rollett (1961). Мы можем различать фигуры, регулярно́е по граням и транзитивные по вершинам, основываясь на классификации Госсета, а также их двойственные фигуры, регулярно́е по вершинам (или верси-регулярные) и транзитивные по граням. Коксетер и др. (1954) используют термин «полуправильные многогранники» для классификации однородных многогранников с символом Уайтхоффа вида p q | r, определение, охватывающее только шесть архимедовых тел, а также правильные призмы (но не правильные антипризмы) и множество невыпуклых многогранников. Позже Коксетер (1973) процитировал определение Госсета без комментариев, тем самым подразумевая его принятие. Эрик Вайсштейн, Роберт Уильямс и другие используют этот термин для обозначения выпуклых однородных многогранников, исключая пять правильных многогранников – включая архимедовы тела, однородные призмы и однородные антипризмы (пересекающиеся с кубом как призмой и правильным октаэдром как антипризмой). Питер Кромвелл (1997) пишет в сноске на странице 149, что «в современной терминологии ‘полуправильные многогранники’ относятся к архимедовым и каталонским (двойственным к архимедовым) телам». На странице 80 он описывает тринадцать архимедовых тел как полуправильные, а на страницах 367 и далее он обсуждает каталонские тела и их связь с «полуправильными» архимедовыми телами. Подразумевается, что каталонские тела не являются полуправильными, что фактически противоречит (или, по крайней мере, вводит в заблуждение) определению, данному им ранее в сноске. Он не рассматривает невыпуклые многогранники.

Johannes Kepler coined the category semiregular in his book Harmonices Mundi (1619), including the 13 Archimedean solids, two infinite families (prisms and antiprisms on regular bases), and two edge transitive Catalan solids, the rhombic dodecahedron and rhombic triacontahedron. He also considered a rhombus as a semiregular polygon (being equilateral and alternating two angles) as well as star polygons, now called isotoxal figures which he used in planar tilings. The trigonal trapezohedron, a topological cube with congruent rhombic faces, would also qualify as semiregular, though Kepler did not mention it specifically. In many works semiregular polyhedron is used as a synonym for Archimedean solid. For example, Cundy & Rollett (1961). We can distinguish between the facially regular and vertex transitive figures based on Gosset, and their vertically regular (or versi regular) and facially transitive duals. Coxeter et al. (1954) use the term semiregular polyhedra to classify uniform polyhedra with Wythoff symbol of the form p q | r, a definition encompassing only six of the Archimedean solids, as well as the regular prisms (but not the regular antiprisms) and numerous nonconvex solids. Later, Coxeter (1973) would quote Gosset's definition without comment, thus accepting it by implication. Eric Weisstein, Robert Williams and others use the term to mean the convex uniform polyhedra excluding the five regular polyhedra – including the Archimedean solids, the uniform prisms, and the uniform antiprisms (overlapping with the cube as a prism and regular octahedron as an antiprism). Peter Cromwell (1997) writes in a footnote to Page 149 that, "in current terminology, 'semiregular polyhedra' refers to the Archimedean and Catalan (Archimedean dual) solids". On Page 80 he describes the thirteen Archimedeans as semiregular, while on Pages 367 ff. he discusses the Catalans and their relationship to the 'semiregular' Archimedeans. By implication this treats the Catalans as not semiregular, thus effectively contradicting (or at least confusing) the definition he provided in the earlier footnote. He ignores nonconvex polyhedra.