Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Гексагонға жанасқан коникалық қисыққа қатысты үш ұзын диагоналі бір нүктеде түйіседі.
The 3 long diagonals of a hexagon tangent to a conic section meet in a single point
Геометрияда, Брайаншон теоремасы – коникалық қисыққа сырттай оратылған гексагонның бас диагональдары (қарсы төбелерін қосатын) бір нүктеде түйіседі деген теорема. Ол Шарль Жюльен Брайаншонның (1783–1864) есімімен аталған.
In geometry, Brianchon's theorem is a theorem stating that when a hexagon is circumscribed around a conic section, its principal diagonals (those connecting opposite vertices) meet in a single point. It is named after Charles Julien Brianchon (1783–1864).
Ресми мәлімдеме
Конус қимасының алты жанама сызығынан құралған алтыбұрыш болсын. Онда түзулер (қарсы төбелерін қосатын кеңейтілген диагональдар) бір ғана нүктеде – Брайаншон нүктесінде қиылысады.
Let be a hexagon formed by six tangent lines of a conic section. Then lines (extended diagonals each connecting opposite vertices) intersect at a single point , the Brianchon point.
Паскаль теоремасына байланысты
Бұл теореманың полярлық өзара және проективті қос теоремасы Паскаль теоремасын тудырады.
The polar reciprocal and projective dual of this theorem give Pascal's theorem.
Өршілістер
Паскаль теоремасы үшін Брайаншон теоремасының да дегенерациялары бар: Екі жақын орналасқан жанамалардың бір-бірімен сәйкес келуі. Олардың қиылысу нүктесі кониканың нүктесіне айналады. Диаграммада үш жұп жақын орналасқан жанамалар сәйкес келеді. Бұл процедура үшбұрыштардың ішкі эллипстері туралы тұжырымға әкеледі. Проективті көзқарас бойынша, екі үшбұрыш центрлік нүктесі арқылы перспективалық байланыста жатыр. Яғни, бірінші үшбұрышты екіншісіне бейнелейтін центрлік колинеация бар. Бірақ бұл колинеация тек ерекше жағдайларда ғана аффиндік масштабтау болады. Мысалы, Брайаншон нүктесі центроид болатын Штайнер ішкі эллипсі үшін.
As for Pascal's theorem there exist degenerations for Brianchon's theorem, too: Let coincide two neighbored tangents. Their point of intersection becomes a point of the conic. In the diagram three pairs of neighbored tangents coincide. This procedure results in a statement on inellipses of triangles. From a projective point of view the two triangles and lie perspectively with center That means there exists a central collineation, which maps the one onto the other triangle. But only in special cases this collineation is an affine scaling. For example for a Steiner inellipse, where the Brianchon point is the centroid.
Афиналық жазықтықта
Брайаншон теоремасы аффиндік жазықтықта да, нақты проективтік жазықтықта да сақталады. Дегенмен, аффиндік жазықтықтағы оның тұжырымы проективтік жазықтықтағыдан кем мәліметті және күрделірек. Мысалы, параболаға жүргізілген бес жанама сызықты қарастырайық. Оларды алтыбұрыштың қабырғалары ретінде қарастыруға болады, ал оның алтыншы қабырғасы – шексіздікке баратын түзу, бірақ аффиндік жазықтықта мұндай түзу жоқ. Екі жағдайда, (жоқ) төбеден қарсы төбеге дейінгі түзу бес жанама сызықтың біріне параллель болар еді. Сондықтан, егер Брайаншон теоремасы тек аффиндік жазықтық үшін айтылса, мұндай жағдайда оны басқаша тұжырымдау қажет. Брайаншон теоремасының проективтік жұбы аффиндік жазықтықта ерекшеліктерге ие, бірақ проективтік жазықтықта жоқ.
Brianchon's theorem is true in both the affine plane and the real projective plane. However, its statement in the affine plane is in a sense less informative and more complicated than that in the projective plane. Consider, for example, five tangent lines to a parabola. These may be considered sides of a hexagon whose sixth side is the line at infinity, but there is no line at infinity in the affine plane. In two instances, a line from a (non existent) vertex to the opposite vertex would be a line parallel to one of the five tangent lines. Brianchon's theorem stated only for the affine plane would therefore have to be stated differently in such a situation. The projective dual of Brianchon's theorem has exceptions in the affine plane but not in the projective plane.
Дәлел
Брайаншон теоремасын радикалдық ось немесе өзара тепе-теңдік принципі арқылы дәлелдеуге болады. Оны дәлелдеу үшін кез келген ұзындықты (MN) алып, оны тиісті түйісу нүктелерінен жүргізілген жанамалар бойында көтеріңіз: PL = RJ = QH = MN және т.б. (H, W), (J, V) және (L, Y) нүктелерінде алтыбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларына жанасатын a, b, c шеңберлерін салыңыз. Жұптар бойынша алынған үш шеңбердің радикалдық осьтерінің ретімен ab, bc, ca сызықтарымен сәйкес келетінін оңай көруге болады. Осылайша, O осы үш шеңбердің радикалдық центрімен сәйкес келеді. Теорема шеңберге ішкі жатқан бесбұрыштар үшін ерекше жағдайларда өзгереді, мысалы, R және Q нүктелері F нүктесімен беттескенде, онда AFE сызығы F нүктесіндегі жанамаға айналады. Содан кейін T, C және U нүктелерін одан әрі сәйкестендіру арқылы төртбұрыштар үшін сәйкес теореманы аламыз.
Brianchon's theorem can be proved by the idea of radical axis or reciprocation. To prove it take an arbitrary length (MN) and carry it on the tangents starting from the contact points: PL = RJ = QH = MN etc. Draw circles a, b, c tangent to opposite sides of the hexagon at the created points (H,W), (J,V) and (L,Y) respectively. One sees easily that the concurring lines coincide with the radical axes ab, bc, ca resepectively, of the three circles taken in pairs. Thus O coincides with the radical center of these three circles. The theorem takes particular forms in the case of circumscriptible pentagons e. g. when R and Q tend to coincide with F, a case where AFE is transformed to the tangent at F. Then, taking a further similar identification of points T,C and U, we obtain a corresponding theorem for quadrangles.