Введение
Три длинные диагонали шестиугольника, описанного около конического сечения, пересекаются в одной точке.
В геометрии теорема Брайаншона утверждает, что если шестиугольник описан вокруг конического сечения, то его главные диагонали (соединяющие противоположные вершины) пересекаются в одной точке. Она названа в честь Шарля Жюльена Брайаншона (1783–1864).
Официальное заявление
Пусть дан шестиугольник, образованный шестью касательными к коническому сечению. Тогда прямые (продолженные диагонали, каждая из которых соединяет противоположные вершины) пересекаются в одной точке — точке Брайаншона.
Связь с теоремой Паскаля
Полярное обратное и проективная двойственная теорема дают теорему Паскаля.
Дегенерации
Что касается теоремы Паскаля, существуют также вырождения и для теоремы Брайаншона: пусть совпадают две соседние касательные. Их точка пересечения становится точкой на конике. На диаграмме совпадают три пары соседних касательных. Эта процедура приводит к утверждению об эллипсах, вписанных в треугольники. С точки зрения проективной геометрии, два треугольника и лежат в перспективе с центром . Это означает, что существует центральная коллинеация, отображающая один треугольник на другой. Однако эта коллинеация является аффинным преобразованием масштаба только в особых случаях. Например, для эллипса Штайнера, где точка Брайаншона является центроидом.
В аффиновой плоскости
Теорема Брайаншона верна как в аффинной плоскости, так и в реальной проективной плоскости. Однако её формулировка в аффинной плоскости в некотором смысле менее информативна и более сложна, чем в проективной плоскости. Рассмотрим, например, пять касательных к параболе. Их можно рассматривать как стороны шестиугольника, шестой стороной которого является прямая на бесконечности, но в аффинной плоскости прямой на бесконечности не существует. В некоторых случаях прямая, соединяющая (отсутствующую) вершину с противоположной вершиной, была бы параллельна одной из пяти касательных. Поэтому теорема Брайаншона, сформулированная только для аффинной плоскости, должна быть сформулирована иначе в такой ситуации. Проективное двойственное утверждение к теореме Брайаншона имеет исключения в аффинной плоскости, но не имеет их в проективной плоскости.
Доказательство
Теорема Брайаншона может быть доказана с помощью идеи радикальной оси или принципа взаимности. Для доказательства возьмите произвольную длину (MN) и отложите её на касательных, начиная с точек касания: PL = RJ = QH = MN и т.д. Постройте окружности a, b, c, касающиеся противоположных сторон шестиугольника в полученных точках (H,W), (J,V) и (L,Y) соответственно. Легко увидеть, что взаимно пересекающиеся прямые совпадают с радикальными осями ab, bc, ca соответственно, пар этих трех окружностей. Следовательно, точка O совпадает с радикальным центром этих трех окружностей. Теорема принимает особые формы в случае описанных пятиугольников, например, когда точки R и Q стремятся к точке F, что соответствует случаю, когда прямая AFE превращается в касательную в точке F. Затем, проведя аналогичную идентификацию точек T, C и U, мы получим соответствующую теорему для четырехугольников.