Кіріспе
Комплекстік талдаудағы толық функцияларды олардың нөлдері бойынша жіктеуге мүмкіндік беретін теорема. Математикада, әсіресе комплекс тікелей талдау саласында, Вейерштрасс жіктеу теоремасы кез келген толық функцияны оның нөлдерін қамтитын (мүмкін шексіз) көбейтінді ретінде көрсетуге болатынын айтады. Бұл теореманы алгебраның негізгі теоремасының кеңейтілген түрі деп қарастыруға болады, ол кез келген көпмүшелікті оның әрбір түбірі үшін сызықтық көбейткіштерге жіктеуге болатынын көрсетеді. Карл Вейерштрасс атымен аталған бұл теорема, шексізге ұмтылатын кез келген тізбекке сол тізбектің нүктелерінде нөлдері бар толық функция сәйкес келеді деген екінші нәтижемен тығыз байланысты. Теореманың жалпылама түрі оны мероморфтық функцияларға дейін кеңейтеді және берілген мероморфтық функцияны үш көбейткіш ретінде қарастыруға мүмкіндік береді: функцияның нөлдері мен полюстеріне байланысты мүшелер және оған сәйкес келетін нөлдік емес голоморфтық функция.
In mathematics, and particularly in the field of complex analysis, the Weierstrass factorization theorem asserts that every entire function can be represented as a (possibly infinite) product involving its zeroes. The theorem may be viewed as an extension of the fundamental theorem of algebra, which asserts that every polynomial may be factored into linear factors, one for each root. The theorem, which is named for Karl Weierstrass, is closely related to a second result that every sequence tending to infinity has an associated entire function with zeroes at precisely the points of that sequence. A generalization of the theorem extends it to meromorphic functions and allows one to consider a given meromorphic function as a product of three factors: terms depending on the function's zeros and poles, and an associated non zero holomorphic function.
Мотивация
Күрделі жазықтықтағы кез келген шекті нүктелер жиыны үшін, осы жиынтықтағы нүктелерде ғана нөлдері болатын сәйкес келетін көпмүше болады. Керісінше, алгебраның негізгі теоремасының салдары ретінде, күрделі жазықтықтағы кез келген полиномиалдық функция мынадай факторлануға ие:
мұнда a – нөлдік емес тұрақты сан, ал – функцияның нөлдері жиынтығы.
Вейерштрасс факторлану теоремасының екі түрін де толық функцияларға қатысты жоғарыда айтылғандардың жалғасы ретінде қарастыруға болады. Егер тізбек шекті болмаса, онда өнімде қосымша мүшелердің қажеттілігі көрінеді. Мұндай жағдайда шексіз көбейтінді жиналмайтындықтан, толық функцияны анықтау мүмкін емес. Сондықтан, жалпы жағдайда, белгіленген нөлдер тізбегінен толық функцияны анықтауға немесе толық функцияны алгебраның негізгі теоремасынан алынған өрнектерді пайдаланып оның нөлдері арқылы көрсетуге болмайды. Аталған шексіз көбейтіндінің жиналуы үшін қажетті шарт – әр z үшін көбейткіштер 1-ге жақындауы керек. Осылайша, белгілі бір нүктеде 0-ге тең болатын, бірақ сол нүктеден басқа жерде 1-ге жақын болатын және берілгеннен артық нөлдерді енгізбейтін функция іздеу қажет. Вейерштрасстің элементар факторлары осы қасиеттерге ие және жоғарыда аталған факторлармен бірдей мақсатты қамтамасыз етеді.
Хадамардтың факторлау теоремасы
Вейерштрасс факторлау теоремасының ерекше жағдайы шекті реттік толық функциялар үшін туындайды. Бұл жағдайда функцияны -қа тәуелсіз деп қарастыруға болады, ал функция - полином болады. Осылайша, мұнда - функцияның нөлдік емес түбірлері, - функцияның нүктедегі нөлдің реті (егер рет 0 болса, онда бұл жағдай қарастырылады), - полином (оның дәрежесін деп атаймыз), ал - қатардың жинақтылығын қамтамасыз ететін ең кіші теріс емес бүтін сан. Бұл Хадамардтың каноникалық өрнегі деп аталады. Теңшеусіз бүтін сан толық функцияның туысы деп аталады. -ның реті келесі теңсіздікті қанағаттандырады: . Басқаша айтқанда: егер рет бүтін сан болмаса, онда - бүтін санның бөлшектік бөлігі болады. Егер рет оң бүтін сан болса, онда екі мүмкіндік бар: немесе . Мысалы, , және толық функциялардың туысы тең.
In other words: If the order is not an integer, then is the integer part of If the order is a positive integer, then there are two possibilities: or
For example, , and are entire functions of genus .