Введение
Теорема из комплексного анализа, утверждающая, что целые функции могут быть разложены на множители в соответствии с их нулями. В математике, и в особенности в области комплексного анализа, теорема факторизации Вейерштрасса утверждает, что любую целую функцию можно представить в виде (возможно, бесконечного) произведения, включающего её нули. Эту теорему можно рассматривать как обобщение основной теоремы алгебры, которая утверждает, что любой многочлен можно разложить на линейные множители, по одному для каждого корня. Теорема, названная в честь Карла Вейерштрасса, тесно связана с другим результатом: любая последовательность, стремящаяся к бесконечности, имеет связанную с ней целую функцию, имеющую нули точно в точках этой последовательности. Обобщение теоремы распространяет её на мероморфные функции и позволяет рассматривать данную мероморфную функцию как произведение трёх множителей: слагаемых, зависящих от нулей и полюсов функции, и связанную с ними ненулевую голоморфную функцию.
In mathematics, and particularly in the field of complex analysis, the Weierstrass factorization theorem asserts that every entire function can be represented as a (possibly infinite) product involving its zeroes. The theorem may be viewed as an extension of the fundamental theorem of algebra, which asserts that every polynomial may be factored into linear factors, one for each root. The theorem, which is named for Karl Weierstrass, is closely related to a second result that every sequence tending to infinity has an associated entire function with zeroes at precisely the points of that sequence. A generalization of the theorem extends it to meromorphic functions and allows one to consider a given meromorphic function as a product of three factors: terms depending on the function's zeros and poles, and an associated non zero holomorphic function.
Мотивация
Очевидно, что любому конечному множеству точек на комплексной плоскости соответствует полином, нули которого точно совпадают с точками этого множества. Обратное утверждение является следствием фундаментальной теоремы алгебры: любая полиномиальная функция на комплексной плоскости имеет факторизацию
where a is a non zero constant and is the set of zeroes of
The two forms of the Weierstrass factorization theorem can be thought of as extensions of the above to entire functions. The necessity of additional terms in the product is demonstrated when one considers where the sequence is not finite. It can never define an entire function, because the infinite product does not converge. Thus one cannot, in general, define an entire function from a sequence of prescribed zeroes or represent an entire function by its zeroes using the expressions yielded by the fundamental theorem of algebra. A necessary condition for convergence of the infinite product in question is that for each z, the factors must approach 1 as So it stands to reason that one should seek a function that could be 0 at a prescribed point, yet remain near 1 when not at that point and furthermore introduce no more zeroes than those prescribed. Weierstrass' elementary factors have these properties and serve the same purpose as the factors above.
где *a* – ненулевая константа, а – множество нулей. Две формы теоремы о факторизации Вейерштрасса можно рассматривать как обобщения вышесказанного на целые функции. Необходимость добавления дополнительных членов в произведение становится очевидной, если рассмотреть случай, когда последовательность не является конечной. Она никогда не может определить целую функцию, поскольку бесконечное произведение не сходится. Следовательно, в общем случае нельзя определить целую функцию по заданной последовательности нулей или представить целую функцию через её нули, используя выражения, вытекающие из фундаментальной теоремы алгебры. Необходимым условием сходимости рассматриваемого бесконечного произведения является то, что для каждого *z* множители должны стремиться к 1 при Таким образом, логично искать функцию, которая обращается в нуль в заданной точке, но остаётся близкой к 1 в остальных точках и при этом не имеет дополнительных нулей, отличных от заданных. Элементарные множители Вейерштрасса обладают этими свойствами и выполняют ту же роль, что и множители, указанные выше.
where a is a non zero constant and is the set of zeroes of
The two forms of the Weierstrass factorization theorem can be thought of as extensions of the above to entire functions. The necessity of additional terms in the product is demonstrated when one considers where the sequence is not finite. It can never define an entire function, because the infinite product does not converge. Thus one cannot, in general, define an entire function from a sequence of prescribed zeroes or represent an entire function by its zeroes using the expressions yielded by the fundamental theorem of algebra. A necessary condition for convergence of the infinite product in question is that for each z, the factors must approach 1 as So it stands to reason that one should seek a function that could be 0 at a prescribed point, yet remain near 1 when not at that point and furthermore introduce no more zeroes than those prescribed. Weierstrass' elementary factors have these properties and serve the same purpose as the factors above.
Теорема о делении на факторы Хадамарда
Специальный случай теоремы о факторизации Вейерштрасса возникает для целых функций конечного порядка. В этом случае можно выбирать независимыми от *z*, а функция *F(z)* является многочленом. Таким образом, *F(z) = e^(az) * P(z) * ∏(1 + z/z_k)^(m_k)*, где *z_k* – ненулевые корни функции *F(z)*, *m_k* – порядок нуля функции *F(z)* в точке *z_k* (принято считать, что *m_k = 1*, если *z_k* – простой корень), *P(z)* – многочлен (степень которого мы обозначим как *d*), а *a* – наименьшее неотрицательное целое число, при котором ряд сходится. Это называется каноническим представлением Адамара. Неотрицательное целое число *a* называется родом целой функции. Порядок *d* удовлетворяет следующему соотношению:
In other words: If the order is not an integer, then is the integer part of If the order is a positive integer, then there are two possibilities: or
For example, , and are entire functions of genus .
Иными словами: если порядок *d* не является целым числом, то *a* – это целая часть *d*. Если порядок *d* является положительным целым числом, то есть две возможности: *a = 0* или *a = 1*.
In other words: If the order is not an integer, then is the integer part of If the order is a positive integer, then there are two possibilities: or
For example, , and are entire functions of genus .
Например, *e^z*, *sin(z)* и *cos(z)* – целые функции рода 0.
In other words: If the order is not an integer, then is the integer part of If the order is a positive integer, then there are two possibilities: or
For example, , and are entire functions of genus .