Кіріспе

Геодезиялық қайтымды (псевдо) Риманн көптігі. Математикада симметриялық кеңістік — симметриялар тобының кез келген нүктеде инверсиялық симметрияны қамтитын Риманн көптігі (немесе жалпы алғанда, псевдо-Риманн көптігі). Бұл Риманн геометриясының құралдарымен зерттелуі мүмкін, нәтижесінде холономия теориясының салдары туындайды; немесе Ли теориясы арқылы алгебралық тұрғыдан зерттелуі мүмкін, бұл Картанға толық жіктеме беруге мүмкіндік берді. Симметриялық кеңістіктер дифференциалдық геометрияда, өкілдік теориясында және гармониялық талдауда жиі кездеседі. Геометриялық тұрғыдан алғанда, толық және жай ғана байланысқан Риманн көптігі симметриялық кеңістік болып табылады, егер және тек егер оның қисықтық тензоры параллель көшіру кезінде өзгермейтін болса. Жалпы алғанда, Риманн көптігі (M, g) симметриялық деп есептеледі, егер және тек егер M-нің әрбір нүктесі үшін M-ді бекітетін және тангенс кеңістігінде теріс бірлік ретінде әрекет ететін изометрия болса (әр симметриялық кеңістік толық, өйткені кез келген геодезиялық сызық ұштары бойынша симметриялар арқылы шексізке дейін созылуы мүмкін). Екі сипаттама да псевдо-Риманн көптіктеріне оңай кеңейтілуі мүмкін. Ли теориясының тұрғысынан алғанда, симметриялық кеңістік — бұл G байланысқан Ли тобының H подгруппасына бөлінуі, мұнда H — G инволюциясының инвариантты тобының (оның байланысқан компоненті) бөлігі болып табылады. Бұл анықтама Риманн анықтамасынан кеңірек және H компакт болған жағдайда оған дейін тоғады. Риманн симметриялық кеңістіктері математика мен физиканың көптеген салаларында кездеседі. Олардың холономия теориясындағы маңызды рөлін Марсель Бергер ашты. Олар өкілдік теориясы мен гармониялық талдауда, сондай-ақ дифференциалдық геометрияда зерттелетін маңызды объектілер болып табылады.

Геометриялық анықтамасы

M – байланысқан Римандық көптік болсын және p – M нүктесі болсын. Егер p-нің маңындағы дифеоморфизм f нүктені p бекітіп, сол нүкте арқылы өтетін геодезиялықтарды кері бұрса, онда ол геодезиялық симметрия деп аталады, яғни γ геодезиялық болса, онда . Осыдан келіп, f картасының p нүктесіндегі туындысы, p нүктесінің жанама кеңістігіндегі бірлік картасының терісіне тең болады. Жалпы Римандық көптіктерде f изометриялық болуы міндетті емес, сондай-ақ, оны p-нің маңынан M-нің барлық аймағына кеңейту мүмкін болмайды. Бұл қисықтық тензорының ковариантты туындысының нөлге тең болуымен эквивалентті. Егер геодезиялық симметриялардың бәрі изометрияларға дейін кеңейтілсе, онда кеңістік жергілікті симметриялы кеңістік деп аталады. Мұндай кеңістік, сонымен қатар, геодезиялық симметрияларын M-нің барлық аймағына дейін изометрияларға кеңейтуге болатын жағдайда (жаһандық) симметриялы кеңістік деп аталады.

Негізгі қасиеттері

Картан-Амброз-Хикс теоремасы M-нің жергілікті Риман симметриялы екенін, оның қисықтық тензоры ковариантты тұрақты болса ғана білдіреді, және сонымен қатар, әрбір жай байланысқан, толық жергілікті Риман симметриялы кеңістік нақты Риман симметриялы болады. Кез келген Риман симметриялық кеңістік M толық және Риман біртекті (яғни M-нің изометрия тобы M-де транзитивті әрекет етеді). Іс жүзінде, изометрия тобының сәйкестік компоненті де M-ге транзитивті әрекет етеді (M байланысқан болғандықтан). Риман симметриясы жоқ жергілікті Риман симметриялы кеңістіктерді, Риман симметриялы кеңістіктердің дискретті изометрия топтарымен бөлу арқылы (тұрақты нүктелері жоқ) және (жергілікті) Риман симметриялы кеңістіктердің ашық ішкі жиындары ретінде құруға болады.

Мысалдар

Риманн симметриялық кеңістіктерінің негізгі мысалдары — Евклид кеңістігі, сфералар, проекциялық кеңістіктер және гиперболалық кеңістіктер, олардың әрқайсысы стандартты Риманн метрикасымен жабдықталған. Тағы да мысалдар бірінші инвариантты Риманн метрикасымен жабдықталған, компактты және жартылай қарапайым Лай топтарымен беріледі. 1-ден үлкен родтағы әрбір компактты Риман беті (оның әдеттегі, тұрақты қисықтығы −1-ге тең метрикасымен) — жергілікті симметриялық кеңістік, бірақ симметриялық кеңістік емес. Әрбір линза кеңістігі жергілікті симметриялық, бірақ симметриялық емес, бірақ оның ерекше жағдайы симметриялық. Линза кеңістіктері — 3 сфераның дискретті изометриясымен бөлінген кеңістіктер, мұнда тұрақты нүктелер жоқ. Риманн симметриялық емес кеңістікке мысал ретінде анти-де-Ситтер кеңістігін келтіруге болады.

Риманның симметриялық кеңістіктерінің жіктелуі

Риман симметриялық кеңістіктерін алгебралық түрде сипаттау Эли Картанға 1926 жылы оларды толық жіктеуге мүмкіндік берді. Белгілі бір Риман симметриялық кеңістігі M үшін, оған сәйкес алгебралық деректер (G,K,σ,g) деп белгілейік. M-нің мүмкін изометриялық кластарын жіктеу үшін, ең алдымен Риман симметриялық кеңістігінің әмбебап жабуы да Риман симметриялық екенін ескеру керек, ал жабу картасы жабудың байланысты изометриялық тобы G-ді оның орталығының кіші тобына бөлу арқылы сипатталады. Сондықтан, ешқандай жалпылықты жоғалтпай, M жай байланысты деп қарастыруға болады. (Бұл G болжам бойынша байланысты болғандықтан, фибрацияның ұзын дәл тізбегі арқылы K-ның да байланысты екенін білдіреді.)

Грасмандықтар ретінде

Көбірек заманауи классификация Фрейдентальдің сиқырлы квадрат құрылымын пайдаланып, Риман симметриялық кеңістіктерін – компактты және компактты емес кеңістіктерді біркелкі жіктейді. Төмендетілмейтін компактты Риман симметриялық кеңістіктері, шекті жамылғыларға дейін, компактты қарапайым Лай тобы, Грассман, Лагранж Грассман немесе нормаланған бөліну алгебралары А және В үшін ішкі кеңістіктердің қос Лагранж Грассманы болып табылады. Ұқсас құрылым төмендетілмейтін компактты емес Риман симметриялық кеңістіктерін құрастырады.

Жалпы симметриялық кеңістіктер

Риман симметриялық кеңістіктерін жалпылайтын симметриялық кеңістіктердің маңызды класы – псевдо-Риман симметриялық кеңістіктері, онда Риман метрикасы псевдо-Риман метрикасымен алмастырылады (әрбір жанама кеңістікте оң анықталғанның орнына емес, дегенеративті). Атап айтқанда, Лоренц симметриялық кеңістіктері, яғни (n-1,1) қолтаңбалы n-өлшемді псевдо-Риман симметриялық кеңістіктері, жалпы салыстырмалылық теориясында маңызды, ең танымал мысалдары – Минковский кеңістігі, Де Ситтер кеңістігі және анти-де Ситтер кеңістігі (тиісінше нөлдік, оң және теріс қисықтығымен). n өлшемді Де Ситтер кеңістігін n+1 өлшемді Минковский кеңістігіндегі бір жақты гиперболоидпен сәйкестендіруге болады. Симметриялық және жалпы симметриялық кеңістіктерді аффинді симметриялық кеңістіктер деп қарастыруға болады. Егер M = G/H симметриялық кеңістік болса, онда Номизу бұрылысы параллель болатын M-де G-инвариантты, бұрылыстан бос аффиндік байланыс (яғни бұрылыс тензоры жоқ аффиндік байланыс) бар екенін көрсетті. Керісінше, мұндай байланысы бар көпқырлы жергілікті симметриялы (яғни оның әмбебап жабыны симметриялық кеңістік). Мұндай көпқырлылықтарды сондай-ақ геодезиялық симметриялары барлық жаһандық түрде анықталған аффиндік диффеоморфизмдер болып табылатын аффиндік көпқырлылықтар деп сипаттауға болады, бұл Риман және псевдо-Риман жағдайларын жалпылайды.

Жіктеу нәтижелері

Риман симметриялық кеңістіктердің жіктелуі жалпы жағдайға оңай көшпейді, себебі симметриялық кеңістікті азайтылмас көбейтіндіге бөлудің жалпы әдісі жоқ. Мұнда симметриялық кеңістік G/H, Lie алгебрасымен

қайталанбайтын деп есептеледі, егер ол -ның азайтылмас өкілдігі болса. жалпы жартылай қарапайым (немесе тіпті редуктивті) болмағандықтан, ол азайтылмайтын емес, бірақ ыдырамайтын өкілдіктерге ие болуы мүмкін. Дегенмен, азайтылмайтын симметриялық кеңістіктерді жіктеуге болады. Кацуми Номидзу көрсеткендей, екіге бөлінеді: азайтылмайтын симметриялық кеңістік G/H немесе жазық (яғни аффиндік кеңістік), немесе жартылай қарапайым. Бұл, Евклид кеңістіктері мен компактты немесе компактты емес типтегі кеңістіктер арасындағы Римандық дихотомияның аналогы болып табылады және М. Бергерді жартылай қарапайым симметриялық кеңістіктерді (яғни жартылай қарапайым болатын) жіктеуге және олардың қайсысы азайтылмайтын екенін анықтауға ынталандырды. Соңғы сұрақ Риман жағдайына қарағанда күрделірек: тіпті егер қарапайым болса да, G/H азайтылмайтын болмауы мүмкін. Риман жағдайындағыдай, G = H × H түріндегі жартылай қарапайым симметриялық кеңістіктер бар. Кез келген жартылай қарапайым симметриялық кеңістік, қарапайым болатын симметриялық кеңістіктердің осы формадағы көбейтіндісі болып табылады. Соңғы жағдайды сипаттау қалады. Бұл үшін (нақты) қарапайым Lie алгебрасының σ инволюцияларын жіктеу қажет. Егер қарапайым болмаса, онда ол күрделі қарапайым Lie алгебрасы болады, ал сәйкес симметриялық кеңістіктер G/H түрінде болады, мұнда H – G-нің нақты формасы: бұл G/K түріндегі Риман симметриялық кеңістіктерінің аналогы, мұнда G – күрделі қарапайым Lie тобы, ал K – максималды компактты ішкі топ. Сондықтан қарапайым деп есептеуге болады. Нақты субальгебра күрделі антилинейлі инволюция τ-ның түрақты нүктелер жиыны ретінде қарастырылуы мүмкін, ал σ τ-мен коммутациялайтын күрделі антилинейлі инволюцияға кеңейтіледі, сонымен қатар күрделі сызықтық инволюция σ∘τ болады. Сондықтан жіктеу күрделі Lie алгебрасының антилинейлі инволюцияларының коммутациялық жұптарын жіктеуге дейін тоғысып қалады. Құрама σ∘τ күрделі симметриялық кеңістікті анықтайды, ал τ нақты форманы анықтайды. Осыдан кез келген берілген үшін симметриялық кеңістіктердің кестелерін құру оңай, сонымен қатар σ мен τ алмастыру арқылы берілген анық дуалдық бар. Бұл Риман жағдайындағы компактты/компактты емес дуалдықты кеңейтеді, онда σ немесе τ Картан инволюциясы болып табылады, яғни оның түрақты нүктелер жиыны максималды компактты субальгебра болып табылады.

Қасиеттері

Симметриялық кеңістіктердің кейбір қасиеттері мен түрлерін атап өтуге болады.

Метриялық тензорды көтеру

Риманн көптігіндегі метрикалық тензорды Киллинг формасымен біріктіру арқылы скалярлық көбейтіндіге көтеруге болады. Бұл былай анықталады:

Мұнда, – Риманн метрикасы, ал – Киллинг формасы. Минус белгісі Киллинг формасы осы кеңістікте теріс анықталғандықтан пайда болады, бұл – анықталғандығын қамтамасыз етеді.

Симметриялық кеңістік пен голономия

Егер Риман көпқырлылығының голономиялық тобының бірлік компоненті бір нүктеде жаныма кеңістігінде төңкерілмейтін әрекет етсе, онда көпқырлылық жергілікті Риман симметриялық кеңістігі болады немесе ол 7 топтың біріне жатады.

Гермиттік симметриялық кеңістіктер

Римандық симметриялы кеңістік, сонымен қатар Римандық метрикамен үйлесімді параллель кешенді құрылыммен жабдықталған жағдайда, гермиттік симметриялы кеңістік деп аталады. Мысалдардың кейбіреулері – әдеттегі Римандық метрикасы бар кешенді векторлық кеңістіктер және кешенді проективті кеңістіктер, сондай-ақ толықтығын және Римандық симметриялы болуын қамтамасыз ететін тиісті метрикалармен жабдықталған кешенді бірлік шарлары. G/K редукцияланбайтын симметриялық кеңістік, егер және тек қана K орталық шеңберді қамтыса, гермиттік болады. Осы шеңбердің тоқсан градусқа бұрылуы теңдік косетіндегі жанама кеңістікте i-ге көбейту ретінде әрекет етеді. Осылайша, гермиттік симметриялық кеңістіктер классификациядан оңай анықталады. Компактты және компактты емес жағдайларда төрт шексіз қатар бар екені белгілі болады, атап айтқанда, AIII, BDI (p=2), DIII және CI, сондай-ақ екі ерекше кеңістік – EIII және EVII. Компактты емес гермиттік симметриялық кеңістіктерді кешенді векторлық кеңістіктердегі шектеулі симметриялық домендер ретінде жүзеге асыруға болады.

Кватернион-Келер симметриялы кеңістіктері

Риманн метрикасымен үйлесімді және әрбір нүктеде қиял кватерниондарға изоморфты End(TM) параллельді суббунделімен жабдықталған Риманн симметриялық кеңістігі кватернион Кэхлер симметриялық кеңістігі деп аталады. G/K редукцияланбайтын симметриялық кеңістік кватернион Кэхлер болып табылады, егер және тек қана K-ның изотропиялық өкілдігінде кватерниондық векторлық кеңістікте бірлік кватерниондар сияқты әрекет ететін Sp(1) қосындысы болса. Осылайша кватернион Кэхлер симметриялық кеңістіктерін классификациядан оңай табуға болады. Компактты және компактты емес жағдайларда, әрбір күрделі қарапайым Ли тобы үшін дәл біреу бар екені анықталады, атап айтқанда, AI, p=2 немесе q=2 (олар изоморфты), BDI, p=4 немесе q=4, CII, p=1 немесе q=1, EII, EVI, EIX, FI және G.

Ботт кезеңділік теоремасы

Ботттың кезеңділік теоремасында, тұрақты ортогональды топтың циклдік кеңістіктері редуктивті симметриялық кеңістіктер ретінде қарастырылуы мүмкін.