Введение

(Псевдо)риманов многообразие, геодезические которого обратимы. В математике симметричное пространство — это риманов многообразие (или, в более общем случае, псевдориманов многообразие), группа симметрий которого содержит инверсию относительно каждой точки. Его можно изучать с помощью инструментов римановой геометрии, что приводит к следствиям в теории голономии, или алгебраически, с помощью теории Ли, которая позволила Картану дать полную классификацию. Симметричные пространства часто встречаются в дифференциальной геометрии, теории представлений и гармоническом анализе. В геометрических терминах, полное, простосвязное риманово многообразие является симметричным пространством тогда и только тогда, когда его тензор кривизны инвариантен относительно параллельного переноса. В более общем смысле, риманово многообразие (M, g) считается симметричным тогда и только тогда, когда для каждой точки p в M существует изометрия M, фиксирующая p и действующая на касательное пространство как минус единичный оператор (каждое симметричное пространство полно, поскольку любую геодезическую можно неограниченно продолжить с помощью симметрий относительно конечных точек). Оба описания также могут быть естественным образом расширены на случай псевдоримановых многообразий. С точки зрения теории Ли, симметричное пространство — это факторпространство G/H связной группы Ли G по подгруппе Ли H, которая является (связной компонентой) инвариантной группы инволюции G. Это определение включает в себя больше, чем риманово определение, и сводится к нему, когда H компактна. Римановы симметричные пространства возникают в самых разнообразных ситуациях как в математике, так и в физике. Их центральная роль в теории голономии была установлена Марселем Бержером. Они являются важными объектами исследования в теории представлений и гармоническом анализе, а также в дифференциальной геометрии.

Геометрическое определение

Пусть M – связное риманово многообразие и p – точка в M. Дифеоморфизм f окрестности точки p называется геодезической симметрией, если он фиксирует точку p и меняет направление геодезических, проходящих через эту точку, то есть если γ – геодезическая с γ(0) = p, то f(γ(t)) = γ(-t). Отсюда следует, что производная отображения f в точке p равна минус единичному отображению на касательном пространстве в p. На общем римановом многообразии f не обязательно является изометрией, и, вообще говоря, его нельзя продолжить с окрестности p на всё M.

Многообразие M называется локально риманово симметричным, если его геодезические симметрии являются изометриями. Это эквивалентно исчезновению ковариантной производной тензора кривизны. Локально симметричное пространство называется (глобально) симметричным пространством, если, кроме того, его геодезические симметрии можно продолжить до изометрий на всем M.

Основные свойства

Теорема Картана–Амброза–Хикса утверждает, что M локально риманово симметрична тогда и только тогда, когда её тензор кривизны ковариантно постоянен, и, более того, каждое простосвязное, полное локально риманово симметричное пространство на самом деле является риманово симметричным. Каждое риманово симметричное пространство M является полным и риманово однородным (то есть группа изометрий M действует транзитивно на M). На самом деле, даже единичная компонента группы изометрий действует транзитивно на M (поскольку M связна). Локально риманово симметричные пространства, которые не являются риманово симметричными, могут быть построены как факторпространства риманово симметричных пространств по дискретным группам изометрий без неподвижных точек, а также как открытые подмножества (локально) риманово симметричных пространств.

Примеры

Основными примерами римановых симметричных пространств являются евклидово пространство, сферы, проективные пространства и гиперболические пространства, каждое со своей стандартной римановой метрикой. Дополнительные примеры дают компактные полупростые группы Ли, снабженные биинвариантной римановой метрикой. Каждая компактная поверхность Римана рода, большего единицы (с ее обычной метрикой постоянной кривизны −1), является локально симметричным пространством, но не симметричным пространством. Каждое пространство линз локально симметрично, но не симметрично, за исключением, которое является симметричным. Пространства линз являются фактор-пространствами 3-сферы по дискретной изометрии, не имеющей неподвижных точек. Примером нериманова симметричного пространства является пространство анти-де Ситтера.

Классификация римановых симметричных пространств

Алгебраическое описание римановых симметричных пространств позволило Эли Картану получить их полную классификацию в 1926 году. Для заданного риманова симметричного пространства M обозначим (G, K, σ, g) алгебраическими данными, связанными с ним. Для классификации возможных классов изометрий M, прежде всего отметим, что универсальное накрытие риманова симметричного пространства также является римановым симметричным, а отображение накрытия описывается делением связной группы изометрий G накрытия на подгруппу его центра. Следовательно, мы можем без ограничения общности считать, что M простосвязно. (Это влечет за собой, что K связно, согласно длинной точной последовательности фибрации, поскольку G связно по предположению.)

Как грассманны

Более современная классификация единообразно классифицирует римановы симметричные пространства, как компактные, так и некомпактные, посредством построения магического квадрата Фрейденталя. Нередуцируемые компактные римановы симметричные пространства, с точностью до конечных накрытий, являются либо компактной простой группой Ли, грассманианом, лагранжевым грассманианом или двойным лагранжевым грассманианом подпространств для нормированных алгебр деления A и B. Аналогичная конструкция позволяет получить нередуцируемые некомпактные римановы симметричные пространства.

Общие симметричные пространства

Важным классом симметричных пространств, обобщающих римановы симметричные пространства, являются псевдоримановы симметричные пространства, в которых риманова метрика заменяется псевдоримановой метрикой (невырожденной вместо положительно определенной на каждом касательном пространстве). В частности, пространства Лоренца, то есть псевдоримановы симметричные пространства размерности n с сигнатурой (n − 1, 1), играют важную роль в общей теории относительности, наиболее известными примерами которых являются пространство Минковского, пространство Де Ситтера и пространство анти-де Ситтера (с нулевой, положительной и отрицательной кривизной соответственно). Пространство Де Ситтера размерности n можно отождествить с однолистным гиперболоидом в пространстве Минковского размерности n + 1. Симметричные и локально симметричные пространства в общем случае можно рассматривать как аффинные симметричные пространства. Если M = G/H является симметричным пространством, то Номидзу показал, что существует G-инвариантная аффинная связь без кручения (то есть аффинная связь, тензор кручения которой равен нулю) на M, кривизна которой параллельна. Обратно, многообразие с такой связью является локально симметричным (то есть его универсальное накрытие является симметричным пространством). Такие многообразия также можно описать как аффинные многообразия, геодезические симметрии которых являются глобально определенными аффинными диффеоморфизмами, обобщая римановский и псевдоримановский случаи.

Результаты классификации

Классификация римановых симметричных пространств не распространяется напрямую на общий случай по той простой причине, что нет общего способа разложить симметричное пространство в произведение неприводимых. Здесь симметричное пространство G/H с алгеброй Ли

называется неприводимым, если является неприводимым представлением. Поскольку в общем случае не является полупростой (или даже редуктивной), оно может иметь неразложимые представления, которые не являются неприводимыми. Однако неприводимые симметричные пространства можно классифицировать. Как показал Кацуми Номидзу, существует дихотомия: неприводимое симметричное пространство G/H либо плоское (то есть аффинное пространство), либо является полупростым. Это аналог римановой дихотомии между евклидовыми пространствами и пространствами компактного или некомпактного типа, и это побудило М. Бергера классифицировать полупростые симметричные пространства (то есть пространства с полупростой) и определить, какие из них являются неприводимыми. Последний вопрос более тонкий, чем в римановом случае: даже если просто, G/H может оказаться приводимым. Как и в римановом случае, существуют полупростые симметричные пространства с G = H × H. Любое полупростое симметричное пространство является произведением симметричных пространств этой формы с симметричными пространствами, для которых просто. Остается описать последний случай. Для этого необходимо классифицировать инволюции σ простой (действительной) алгебры Ли. Если не просто, то является комплексной простой алгеброй Ли, а соответствующие симметричные пространства имеют вид G/H, где H — вещественная форма G: это аналоги римановых симметричных пространств G/K, где G — комплексная простая группа Ли, а K — максимальная компактная подгруппа. Таким образом, можно считать, что просто. Вещественную подальгебру можно рассматривать как множество неподвижных точек комплексной антилинейной инволюции τ, в то время как σ расширяется до комплексной антилинейной инволюции, коммутирующей с τ, и, следовательно, также до комплексной линейной инволюции στ. Таким образом, классификация сводится к классификации коммутирующих пар антилинейных инволюций комплексной алгебры Ли. Композиция στ определяет комплексное симметричное пространство, а τ определяет вещественную форму. Исходя из этого, легко построить таблицы симметричных пространств для любой заданной , и, кроме того, существует очевидная двойственность, задаваемая обменом σ и τ. Это расширяет компактно/некомпактную двойственность из риманова случая, где либо σ, либо τ является инволюцией Картана, то есть множество ее неподвижных точек является максимальной компактной подальгеброй.

Свойства

Можно отметить некоторые свойства и формы симметричных пространств.

Поднятие метрического тензора

Метрический тензор на римановом многообразии можно расширить до скалярного произведения на пространстве векторов касательных, комбинируя его с формой Киллинга. Это делается путем определения

Здесь, – риманова метрика, определенная на , а – форма Киллинга. Знак минус появляется, поскольку форма Киллинга отрицательно определена на , что делает положительно определенной.

Симметричные пространства и голономия

Если тождественная компонента голономической группы риманова многообразия в точке действует неприводимо на касательное пространство, то либо многообразие является локально римановым симметричным пространством, либо оно принадлежит одному из 7 семейств.

Гермитовские симметричные пространства

Римановское симметричное пространство, дополнительно оснащенное параллельной комплексной структурой, совместимой с римановой метрикой, называется гермитовым симметричным пространством. Примеры включают комплексные векторные пространства и комплексные проективные пространства с их обычной римановой метрикой, а также единичные шары в комплексном пространстве с подходящими метриками, обеспечивающими их полноту и симметричность относительно римановой метрики. Неприводимое симметричное пространство G/K является гермитовым тогда и только тогда, когда K содержит центральную окружность. Поворот на четверть окружности по этой окружности действует как умножение на i в касательном пространстве в тождественном классе. Таким образом, гермитовы симметричные пространства легко определяются из классификации. Как в компактном, так и в некомпактном случае, существует четыре бесконечных ряда: AIII, BDI при p=2, DIII и CI, а также два исключительных пространства: EIII и EVII. Некомпактные гермитовы симметричные пространства могут быть реализованы как ограниченные симметричные области в комплексных векторных пространствах.

Кватернион-Келлеровские симметричные пространства

Римановское симметричное пространство, дополнительно оснащенное параллельным подпучком End(TM), изоморфным мнимым кватернионам в каждой точке и совместимым с римановой метрикой, называется кватернионно-кэлеровым симметричным пространством. Нередуцируемое симметричное пространство G/K является кватернионно-кэлеровым тогда и только тогда, когда изотропное представление K содержит слагаемое Sp(1), действующее как единичные кватернионы на кватернионном векторном пространстве. Таким образом, кватернионно-кэлеровы симметричные пространства легко определяются из классификации. Как в компактном, так и в некомпактном случаях оказывается, что для каждой комплексной простой группы Ли существует ровно одно такое пространство, а именно AI с p = 2 или q = 2 (эти пространства изоморфны), BDI с p = 4 или q = 4, CII с p = 1 или q = 1, EII, EVI, EIX, FI и G.

Теорема периодичности Ботта

В теореме периодичности Ботта петлевые пространства стабильной ортогональной группы можно интерпретировать как редуктивные симметрические пространства.