Кіріспе
Уақыт өте өзгермейтін және айналмасыз кеңістік-уақыт. Жалпы салыстырмалылық теориясында, егер кеңістік-уақыт уақыт өте өзгермейтін және айналмасыз болса, ол статикалық деп аталады. Бұл тұрақты кеңістік-уақыттың ерекше жағдайы болып табылады, ол уақыт өте өзгермейтін, бірақ айналуы мүмкін кеңістік-уақыттың геометриясы. Осылайша, Керр шешімі статикалық емес, тұрақты кеңістік-уақыттың мысалы; ал айналмасыз Шварцшильд шешімі статикалық кеңістік-уақыттың мысалы болып табылады. Формальды түрде, кеңістік-уақыт, егер ол жаһандық, нөлдік емес, уақытқа ұқсас, айналмасыз Киллинг векторлық өрісін қабылдаса, яғни оның ортогональды таралуы инволютивті болса, онда статикалық болып есептеледі. (Айта кетсек, осымен байланысты жапырақтар міндетті түрде кеңістіктік гипербеттер болып табылады.) Осылайша, статикалық кеңістік-уақыт – бұл қосымша интегралдану шартын қанағаттандыратын тұрақты кеңістік-уақыт. Бұл кеңістіктер Лоренцтік көптүрліліктердің ең қарапайым кластарының бірін құрайды. Жергілікті түрде, әрбір статикалық кеңістік-уақыт стандартты статикалық кеңістік-уақытқа ұқсайды, ол Лоренцтік бұрылған R ⊗ S, мынадай метрикасы бар:
In general relativity, a spacetime is said to be static if it does not change over time and is also irrotational. It is a special case of a stationary spacetime, which is the geometry of a stationary spacetime that does not change in time but can rotate. Thus, the Kerr solution provides an example of a stationary spacetime that is not static; the non rotating Schwarzschild solution is an example that is static. Formally, a spacetime is static if it admits a global, non vanishing, timelike Killing vector field which is irrotational, i. e., whose orthogonal distribution is involutive. (Note that the leaves of the associated foliation are necessarily space like hypersurfaces.) Thus, a static spacetime is a stationary spacetime satisfying this additional integrability condition. These spacetimes form one of the simplest classes of Lorentzian manifolds. Locally, every static spacetime looks like a standard static spacetime which is a Lorentzian warped product R S with a metric of the form
,
where R is the real line, is a (positive definite) metric and is a positive function on the Riemannian manifold S.
In such a local coordinate representation the Killing field may be identified with and S, the manifold of trajectories, may be regarded as the instantaneous 3 space of stationary observers. If is the square of the norm of the Killing vector field, , both and are independent of time (in fact ). It is from the latter fact that a static spacetime obtains its name, as the geometry of the space like slice S does not change over time.
,
In general relativity, a spacetime is said to be static if it does not change over time and is also irrotational. It is a special case of a stationary spacetime, which is the geometry of a stationary spacetime that does not change in time but can rotate. Thus, the Kerr solution provides an example of a stationary spacetime that is not static; the non rotating Schwarzschild solution is an example that is static. Formally, a spacetime is static if it admits a global, non vanishing, timelike Killing vector field which is irrotational, i. e., whose orthogonal distribution is involutive. (Note that the leaves of the associated foliation are necessarily space like hypersurfaces.) Thus, a static spacetime is a stationary spacetime satisfying this additional integrability condition. These spacetimes form one of the simplest classes of Lorentzian manifolds. Locally, every static spacetime looks like a standard static spacetime which is a Lorentzian warped product R S with a metric of the form
,
where R is the real line, is a (positive definite) metric and is a positive function on the Riemannian manifold S.
In such a local coordinate representation the Killing field may be identified with and S, the manifold of trajectories, may be regarded as the instantaneous 3 space of stationary observers. If is the square of the norm of the Killing vector field, , both and are independent of time (in fact ). It is from the latter fact that a static spacetime obtains its name, as the geometry of the space like slice S does not change over time.
мұнда R – нақты түзу, ⊗ – (оң анықталған) метрика, ал S – Римандық көптіктердегі оң функция.
In general relativity, a spacetime is said to be static if it does not change over time and is also irrotational. It is a special case of a stationary spacetime, which is the geometry of a stationary spacetime that does not change in time but can rotate. Thus, the Kerr solution provides an example of a stationary spacetime that is not static; the non rotating Schwarzschild solution is an example that is static. Formally, a spacetime is static if it admits a global, non vanishing, timelike Killing vector field which is irrotational, i. e., whose orthogonal distribution is involutive. (Note that the leaves of the associated foliation are necessarily space like hypersurfaces.) Thus, a static spacetime is a stationary spacetime satisfying this additional integrability condition. These spacetimes form one of the simplest classes of Lorentzian manifolds. Locally, every static spacetime looks like a standard static spacetime which is a Lorentzian warped product R S with a metric of the form
,
where R is the real line, is a (positive definite) metric and is a positive function on the Riemannian manifold S.
In such a local coordinate representation the Killing field may be identified with and S, the manifold of trajectories, may be regarded as the instantaneous 3 space of stationary observers. If is the square of the norm of the Killing vector field, , both and are independent of time (in fact ). It is from the latter fact that a static spacetime obtains its name, as the geometry of the space like slice S does not change over time.
Мұндай жергілікті координаттарда Киллинг өрісімен сәйкестендірілуі мүмкін, ал траекториялардың көптігі S тұрақты бақылаушылардың мигделікті 3 кеңістігі ретінде қарастырылуы мүмкін. Егер Киллинг векторлық өрісінің нормасының квадраты болса, , екеуі де уақытқа тәуелсіз (әрине). Статикалық кеңістік-уақыт өзінің атын осы соңғы фактіден алады, себебі S кеңістігінің геометриясы уақыт өте өзгермейді.
In general relativity, a spacetime is said to be static if it does not change over time and is also irrotational. It is a special case of a stationary spacetime, which is the geometry of a stationary spacetime that does not change in time but can rotate. Thus, the Kerr solution provides an example of a stationary spacetime that is not static; the non rotating Schwarzschild solution is an example that is static. Formally, a spacetime is static if it admits a global, non vanishing, timelike Killing vector field which is irrotational, i. e., whose orthogonal distribution is involutive. (Note that the leaves of the associated foliation are necessarily space like hypersurfaces.) Thus, a static spacetime is a stationary spacetime satisfying this additional integrability condition. These spacetimes form one of the simplest classes of Lorentzian manifolds. Locally, every static spacetime looks like a standard static spacetime which is a Lorentzian warped product R S with a metric of the form
,
where R is the real line, is a (positive definite) metric and is a positive function on the Riemannian manifold S.
In such a local coordinate representation the Killing field may be identified with and S, the manifold of trajectories, may be regarded as the instantaneous 3 space of stationary observers. If is the square of the norm of the Killing vector field, , both and are independent of time (in fact ). It is from the latter fact that a static spacetime obtains its name, as the geometry of the space like slice S does not change over time.
Статикалық кеңістіктегі уақыт үлгілері
Шварцшильдтың (сыртқы) шешімі. Де-Ситтер кеңістігі (статикалық аймақпен жабылған бөлігі). Райсснер-Нордстрём кеңістігі. Вейль шешімі, Герман Вейль ашқан Эйнштейннің вакуумдық өріс теңдеулерінің статикалық осьтік симметриялы шешімі.
Статикалық емес кеңістіктегі уақыт үлгілері
Жалпы, "денесіз барлық" кеңістік-уақыттар статикалық болмайды. Нақты мысалдардың кейбірелері: сфералық симметриялы кеңістік-уақыттар, олар айналмалы, бірақ статикалық емес. Керр шешімі, айналып жатқан қара тесікті сипаттайтындықтан, статикалық емес, бірақ тұрақты кеңістік-уақыт болып табылады. Гравитациялық толқындары бар кеңістік-уақыттар тіпті тұрақты да емес.
Spherically symmetric spacetimes, which are irrotational, but not static. The Kerr solution, since it describes a rotating black hole, is a stationary spacetime that is not static. Spacetimes with gravitational waves in them are not even stationary.