Введение

Пространство-время, которое не меняется со временем и не является ирротационным.

В общей теории относительности пространство-время называется статическим, если оно не меняется со временем и также не является ирротационным. Это частный случай стационарного пространства-времени, представляющего собой геометрию стационарного пространства-времени, которое не меняется во времени, но может вращаться. Таким образом, решение Керра является примером стационарного пространства-времени, которое не является статическим, а невращающееся решение Шварцшильда – примером, которое является статическим. Формально, пространство-время является статическим, если оно допускает глобальное, ненулевое, временное поле Киллинга, которое является ирротационным, то есть его ортогональное распределение инволютивно. (Следует отметить, что листья соответствующего расслоения обязательно являются пространственноподобными гиперповерхностями.) Таким образом, статическое пространство-время – это стационарное пространство-время, удовлетворяющее этому дополнительному условию интегрируемости. Эти пространства-времена образуют один из самых простых классов лоренцевых многообразий. Локально каждое статическое пространство-время выглядит как стандартное статическое пространство-время, представляющее собой лоренцево искривленное произведение R × S с метрикой вида

,

где R – вещественная прямая, – (положительно определенная) метрика, а – положительная функция на римановом многообразии S.

В таком локальном координатном представлении поле Киллинга может быть отождествлено с , а S, многообразие траекторий, может рассматриваться как мгновенное трехмерное пространство неподвижных наблюдателей. Если – квадрат нормы поля Киллинга, то и не зависят от времени (фактически, ). Именно из этого факта статическое пространство-время и получает свое название, поскольку геометрия пространственноподобного сечения S не меняется со временем.

Примеры статического пространства-времени

(Внешнее) решение Шварцшильда. Пространство Де Ситтера (часть, покрытая статической областью). Пространство Райсснера — Нордстрёма. Решение Вейля, статическое осесимметричное решение уравнений Эйнштейна для вакуума, открытое Германом Вейлем.

Примеры нестатического пространства-времени

В общем, "почти все" пространства-времени не будут статическими. Некоторые явные примеры включают: сферически симметричные пространства-времени, которые являются невращающимися, но не статическими. Решение Керра, поскольку оно описывает вращающуюся чёрную дыру, является стационарным пространством-временем, которое не является статическим. Пространства-времена, содержащие гравитационные волны, даже не являются стационарными.