Кіріспе

Асимптотикалық жазық кеңістік-уақыт – бұл Лоренцтік көптүрлілік, онда, шамамен айтқанда, белгілі бір аймақтан алыс қашықтықта қисықтық жоғалады, сондықтан алыс қашықтықта геометрия Минковский кеңістігінен ешқандай айырмашылықты көрсетпейді. Бұл түсінік кез келген Лоренцтік көптүрлілік үшін дұрыс болғанымен, көбінесе гравитацияның метрикалық теорияларының, әсіресе жалпы салыстырмалылық теориясының өріс теңдеулеріне шешім болатын кеңістік-уақытқа қолданылады. Осы жағдайда, асимптотикалық жазық кеңістік-уақыт – дегеніміз, гравитациялық өріс, сондай-ақ кез келген материя немесе басқа да өрістер, белгілі бір аймақтан алыс қашықтықта мардымсыз болады. Атап айтқанда, асимптотикалық жазық вакуумдық шешімде гравитациялық өріс (қисықтық) өріс көзінен (әдетте жұлдыз сияқты оқшауланған массивті объект) алыс қашықтықта елеусіз болады.

Интуитивті мән

Асимптотикалық жазықтық шарты математикада және басқа физикалық теориялардағы ұқсас шарттарға ұқсас. Мұндай шарттарда белгілі бір физикалық өріс немесе математикалық функция тиісті мағынада асимптотикалық түрде нөлге жақындайды делінеді. Жалпы салыстырмалылық теориясында асимптотикалық тегіс вакуумдық шешім оқшауланған массивті объектінің сыртқы гравитациялық өрісін модельдейді. Сондықтан мұндай кеңістік-уақыт оқшауланған жүйе ретінде қарастырылуы мүмкін: сыртқы ықпалдарды ескермеуге болатын жүйе. Физиктер жұлдыздың асимптотикалық жазық моделін құрастырғанда, әдетте бір ғана жұлдыздан тұратын ғаламды көзге елестетпейді. Керісінше, олар жұлдыздың ішкі құрылымын және басқа объектілердің гравитациялық әсерлерін елемеуге болатын сыртқы аймақты модельдеуге ұмтылады. Астрофизикалық денелер арасындағы қашықтықтар әдетте әр дененің диаметрінен әлдеқайда көп болғандықтан, біз көбінесе осы идеализацияны қолдана аламыз, бұл шешімдерді құру және талдауды едәуір жеңілдетуге көмектеседі.

Ресми анықтамалар

Көптік асимптотикалық жағынан қарапайым болып есептеледі, егер ол конформациялық жиынтықталуға ие болса, онда кез келген нөлдік геодезиялықтың болашақ және өткен нүктелері -ның шекарасында орналасқан.
Бұл қара құрдымдарды ескермегендіктен, әлсіз асимптотикалық қарапайым көптік -ның конформациялық жиынтықталуы -ның шекарасының маңындағы аймаққа изометриялық болатын ашық жиынға ие көптік ретінде анықталады. Көптік әлсіз асимптотикалық қарапайым және -ның шекарасының маңындағы аймақта оның Риччи тензоры жоғалып кетсе, асимптотикалық жағынан бос болып табылады.

Кейбір мысалдар мен мысалдар емес

Тек оқшауланған нысанды модельдейтін уақыт-кеңістіктер асимптотикалық жазық болады. FRW модельдері сияқты көптеген басқа таныс нақты шешімдер олай емес. Асимптотикалық жазық уақыт-кеңістіктің қарапайым мысалы – Шварцшильд метрикасының шешімі. Көбінесе, Керр метрикасы да асимптотикалық жазық болып табылады. Бірақ Шварцшильд вакуумының тағы бір белгілі жалпылауы – Тауб-НУТ кеңістігі, асимптотикалық жазық емес. Де Ситтер ғаламына енген сфералық симметриялы массивті нысанды модельдейтін де Ситтер Шварцшильд метрикасының шешімі, тіпті қарапайым жалпылау болып табылады және асимптотикалық жазық емес, асимптотикалық қарапайым уақыт-кеңістіктің мысалы. Екінші жағынан, AF Вейль метрикалары және олардың айналмалы жалпылаулары, AF Эрнст вакуумдары (барлық тұрақты осьтік симметриялы және асимптотикалық жазық вакуумдық шешімдердің отбасысы) сияқты асимптотикалық жазық болатын маңызды үлкен шешімдер отбасылары бар. Бұл отбасылар бөлшекті дифференциалдық теңдеулердің көптеген оңайлатылған түрлерінің шешімдер жиынтығымен беріледі, ал олардың метрикалық тензорларын нақты көпполюстік қатар түрінде жазуға болады.

Координаттарға тәуелді анықтама

Асимптотикалық жазық кеңістікті анықтаудың ең қарапайым (және тарихи тұрғыдан алғашқы) жолы, бізде координаталар жиынтығы бар деп есептейді, ол бастапқы нүктеден алыс Минковский кеңістігіндегі декарттық координаталар жиынтығы сияқты болады, мынадай мағынада. Метрикалық тензорды (физикалық тұрғыдан байқауға болмайтын) Минковский фоны мен бұзылу тензорының қосындысы ретінде жазып, содан кейін талап етеміз:

Бұзылудың ішінара туындыларының соншалықты жылдам жойылуын талап етудің бір себебі – осы шарттар гравитациялық өрістің энергия тығыздығының (осы шамада бұл тұманды түсінік гравитацияның метрикалық теориясында мағыналы болса) физикалық тұрғыдан дұрыс сияқты жойылуын қамтамасыз етеді. (Классикалық электромагнетизмде нүктелік зарядтың электромагниттік өрісінің энергиясы осылай жойылады.)

Координаттарсыз анықтама

1962 жылы Герман Бонди, Райнер К. Сакс және басқалар жалпы салыстырмалылық теориясындағы ықшам көзден шығатын сәулеленудің жалпы құбылысын зерттеуге кірісті, бұл асимптотикалық жазықтықтың көбірек икемді анықтамаларын талап етеді. 1963 жылы Роджер Пенроуз алгебралық геометриядан қазір конформдық тығыздалу деп аталатын маңызды жаңалықты енгізді, ал 1972 жылы Роберт Герох осыны пайдаланып, асимптотикалық жазықтықтың нақты координаттық тәуелсіз анықтамасын құру кезінде тиісті шектерді дұрыс анықтау және бағалаудың қиын мәселесін айналып өтті. Жаңа тәсілде, барлық нәрсе дұрыс орнатылғаннан кейін, асимптотикалық жазықтықты растау үшін тек бір локустағы функцияларды бағалау қажет.

Қолданбалар

Асимптотикалық жазықтық тұжырымы жалпы салыстырмалылық теориясы және оған қатысты теориялардағы нақты шешімдерді зерттеуде маңызды техникалық шарт болып табылады. Мұның бірнеше себебі бар: Жалпы салыстырмалылық теориясындағы (және оған ұқсас физикалық теориялардағы) физикалық құбылыстардың модельдері көбінесе дифференциалдық теңдеулердің тиісті жүйелерінің шешімі ретінде туындайды, ал асимптотикалық жазықтық болжамы нәтижедегі шекаралық мәндер есебін құруға және тіпті шешуге көмектесетін шекаралық шарттарды ұсынады. Жалпы салыстырмалылық теориясы сияқты гравитацияның метрикалық теорияларында масса және бұрыштық импульс сияқты маңызды физикалық ұғымдардың жалпы анықтамаларын беру әдетте мүмкін емес; алайда, асимптотикалық жазықтықты қабылдау асимптотикалық жазық шешімдер үшін мағыналы болатын қолайлы анықтамаларды қолдануға мүмкіндік береді. Бұл көбінесе айқын болмаса да, асимптотикалық жазықтықты пайдалану физиктерге алгебралық геометрия және дифференциалдық топологиядан күрделі математикалық түсініктерді импорттауға, оқиғалар көкжиегі сияқты маңызды ерекшеліктерді анықтауға және зерттеуге мүмкіндік береді.