Асимптотически плоское пространство-время в общей теории относительности

Введение

Асимптотически плоское пространство-время — это лоренцианское многообразие, в котором, грубо говоря, кривизна стремится к нулю на больших расстояниях от некоторой области, так что на больших расстояниях геометрия становится практически неотличимой от геометрии пространства-времени Минковского. Хотя это понятие применимо к любому лоренцианскому многообразию, оно наиболее часто используется для описания пространства-времени, являющегося решением уравнений поля какой-либо метрической теории гравитации, в особенности общей теории относительности. В этом случае можно сказать, что асимптотически плоское пространство-время характеризуется тем, что гравитационное поле, а также любая материя или другие поля, которые могут присутствовать, становятся пренебрежимо малыми на больших расстояниях от некоторой области. В частности, в асимптотически плоском вакуумном решении гравитационное поле (кривизна) становится пренебрежимо малым на больших расстояниях от источника поля (как правило, какого-либо изолированного массивного объекта, например, звезды).

Интуитивное значение

Условие асимптотической плоскостности аналогично подобным условиям в математике и других физических теориях. Эти условия указывают на то, что некоторое физическое поле или математическая функция асимптотически стремится к нулю в определенном смысле. В общей теории относительности асимптотически плоское вакуумное решение моделирует внешнее гравитационное поле изолированного массивного объекта. Следовательно, такое пространство-время можно рассматривать как изолированную систему, в которой внешними воздействиями можно пренебречь. На самом деле, физики редко представляют себе Вселенную, содержащую только одну звезду, при построении асимптотически плоской модели звезды. Скорее, их интересует моделирование внутреннего строения звезды вместе с внешней областью, где гравитационное влияние других объектов можно не учитывать. Поскольку типичные расстояния между астрофизическими объектами значительно превышают диаметр каждого из них, мы часто можем использовать эту идеализацию, что обычно существенно упрощает построение и анализ решений.

Формальные определения

Многообразие является асимптотически простым, если оно допускает конформную компактификацию, такую что каждая нулевая геодезическая в имеет конечные точки в будущем и прошлом на границе . Поскольку последнее исключает черные дыры, слабо асимптотически простым многообразием называется многообразие с открытым множеством, изометричным окрестности границы , где – конформная компактификация некоторого асимптотически простого многообразия. Многообразие является асимптотически плоским, если оно слабо асимптотически простое и асимптотически пустое в том смысле, что его тензор Риччи обращается в нуль в окрестности границы .

Некоторые примеры и необразования

Только пространства-времени, моделирующие изолированный объект, являются асимптотически плоскими. Многие другие известные точные решения, такие как модели ФРВ, не обладают этим свойством. Простым примером асимптотически плоского пространства-времени является метрика Шварцшильда. В более общем случае, метрика Керра также является асимптотически плоской. Однако другое хорошо известное обобщение вакуума Шварцшильда, пространство Тауб–НУТ, не является асимптотически плоским. Еще более простое обобщение, метрика де Ситтера–Шварцшильда, моделирующая сферически симметричный массивный объект, погруженный во вселенную де Ситтера, представляет собой пример асимптотически простого пространства-времени, которое не является асимптотически плоским. С другой стороны, существуют важные большие семейства решений, которые являются асимптотически плоскими, такие как метрики AF Вейля и их вращающиеся обобщения, вакуумы AF Эрнста (семейство всех стационарных осесимметричных и асимптотически плоских вакуумных решений). Эти семейства задаются пространством решений значительно упрощенного семейства частных дифференциальных уравнений, и их метрические тензоры могут быть записаны в виде явного многополюсного разложения.

Определение, зависящее от координат

Самый простой (и исторически первый) способ определения асимптотически плоского пространства-времени предполагает, что у нас есть координатная сетка с координатами , которая на больших расстояниях от начала координат ведёт себя подобно декартовой сетке в пространстве-времени Минковского, в следующем смысле. Запишем метрический тензор как сумму (физически ненаблюдаемого) фона Минковского и тензора возмущения, , и положим . Тогда мы требуем:

Одна из причин, по которой мы требуем, чтобы частные производные возмущения убывали так быстро, заключается в том, что эти условия приводят к тому, что плотность энергии гравитационного поля (в той мере, в которой это несколько расплывчатое понятие вообще имеет смысл в метрической теории гравитации) убывает как , что физически оправдано. (В классической электродинамике энергия электромагнитного поля точечного заряда убывает как .)

Определение без координат

Около 1962 года Герман Бонди, Райнер К. Сакс и другие начали изучать общее явление излучения от компактного источника в общей теории относительности, что требует более гибких определений асимптотической плоскостности. В 1963 году Роджер Пенроуз привнёс из алгебраической геометрии ключевое новшество, ныне известное как конформное компактифицирование, а в 1972 году Роберт Герох использовал его для решения сложной задачи корректного определения и вычисления необходимых пределов при формулировке действительно координатно-независимого определения асимптотической плоскостности. В новом подходе, после правильной подготовки, достаточно оценить функции на некотором множестве, чтобы проверить асимптотическую плоскостность.

Приложения

Понятие асимптотической плоскостности чрезвычайно полезно как техническое условие при изучении точных решений в общей теории относительности и смежных теориях. Этому есть несколько причин:
Модели физических явлений в общей теории относительности (и связанных с ней физических теориях) обычно возникают как решения соответствующих систем дифференциальных уравнений, и предположение об асимптотической плоскостности предоставляет граничные условия, которые помогают в построении и даже в решении возникающей краевой задачи. В метрических теориях гравитации, таких как общая теория относительности, обычно невозможно дать общие определения важных физических понятий, таких как масса и угловой момент; однако, предполагая асимптотическую плоскостность, можно использовать удобные определения, которые имеют смысл для асимптотически плоских решений. Хотя это менее очевидно, оказывается, что использование асимптотической плоскостности позволяет физикам применять сложные математические концепции из алгебраической геометрии и дифференциальной топологии для определения и изучения важных особенностей, таких как горизонты событий, которые могут присутствовать или отсутствовать.